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1、高考热点分析:向量与函数宜春市教研室李希亮摘要：将向量与函数结合起來考查是近年來高考的热点z—,本文将结合一些例题对此进行分析与归纳。关键词：高考热点向量与函数将向量与函数结合起来考查是近年来高考的热点Z—.如江西省2012年高考数学文、理科试题第20题;2011年高考数学文、理科试题第11题及文科试题笫19题、理科试题第20题等,都是这类题型.纵观全国各地考题，该类题型也出现了很多.为了让同学们更好地了解这一热点的考杳题型特点，熟练掌握其解题要点，本文将结合一些例题对此进行分析与归纳。首先,我们归纳一卞这类高考试题的一些特点.题型：以解答题为主，选择题为辅.难度：以中档题为主，稍难题
2、为辅.内容：主要考查向最的四种基本运算(加、减、数乘、数量积)向量的三个基木关系(平行、垂直、夹角)；向量的模的性质;结合函数(特别是三角函数)的性质.形式：1•以函数为落点，用向量给出某些条件.2.以向量(或函数)为起点和落点，考查函数性质.下面我们结合一些实例进行具体分析.例1.已知：^=(V3,-1)5=且存在实数k与t,使得22TTTT£+广x=a+(t2-3)/?,y=-ka+tb,Mx丄y,则的最小值是()t,7门3c3“1A.——B.——C.——D.-4422【解析】本题以向量为起点，落点是二次函数,主要考查向量的垂直条件、向量的数量积等知识.TT—>TTT—>->【简解
3、】由兀丄y得y=0,即(r2-3)b-[-ka+tb]=Q.整理得:-ka+t(t2-3)b2+(-kt2+t+3k)a-b=O•：a=4,b=1,Q・b=0—4k+/3—3f=0得比=—4f_3t2k+t2+t1/"xc、1/*7・•・=—=一(尸+4f-3)=—(f+2)~__tt4447・・・当t=-2时,k取最小值为一一，故选A4【解题要点归纳】本题的要点是根据向量垂育•条件求岀t为K的关系式,通过消元转化例2.伽2年广东理A)对任意两个非零的平面向量窗,定义却=霧若平面向量a,b满足tz>Z?>0,a与b的夹角6^g(0,—),且a。/?和b。。都在集合{—IhgZ}B.1
4、中，则Qo厶二a一一—>1),boabh-aa-ah—cos3——(因为c1>bb'bj72>0,有135A.—B.1C.—D.—222【解析】木题起点和落点都是向量的模、数量积等知识，结合考查了三角函数和集合的知识.a一一.c即—=2cos0・所以aoh=—cos^=2cos^0b・・・eG(0,-)Acos/9g(—,1),,2cos20w(1,2)4*2即:方。办(1,2)---3故有ao&=-答案选c.一i7t【解题要点
5、归纳】本题屮要注意n的夹角&丘(0,—)”这个条件隐含了两个关系•一巧”2'八4aa.是—=—cos^;二是“cos6^eb2例3.已知向量ci=(cos—sin—=(cos—,-sin—),.0.xg
6、0,—
7、,,若22222f(x)=a-b-2Aa^b的最小值是一二，求实数几的值【解析】木题给出的向量都是用三角函数表示的，而给出的函数是用向量的数量积和模來表示的，是一个将向量与三角函数及二次函数的条件结合起來的综合题，应先求出方広和:+习再转化为含参数2的三角函数的最小值问题。【简解】•••ci^b=cos2x,a^b=2cosx•:.f（x）=N•方一22a+b=cos2x-
8、42cosx=2cos2x-4Zcosx-l=2（cosx-2）—2A2—171•••xe[0,—]/•cosxe[OJ]2从而：当250吋，f（x}.=-1与题意才厉，2S0不合题意J/rrnn31当（）＜兄＜1时，f（x}.=-222-1=一一-J/min2235当时，fix）・=1—4久=——，解得：2=-,不满足2＞1丿/min28综上可得，实数几的值为丄2【解题要点归纳】求二次函数.〃）=2（r-A）2-2A2-l,（rG[0,l]）的最小值问题，应按对称轴t=A在区间[0,1]的左边、内部、右边分三种情况进行讨论。例4.已知向量Q=（兀2,兀+l）,b=（1-兀,/）
9、,若函数f（x）=ab在区间（一1,1）上是增函数，求/的取值范围。【解析】本题起点是向量，落点是考查函数的单调性【简解】法一/（x）=a=x2（1-x）+z（x+1）=-x3+x2+/%+/广（兀）=—3/+2x+f,Vfx）在区间（一1,1）一上是增函数・••广（兀）=-3x2+2x+TA0在区间（一1,1）上恒成立。令g（x）=3x^—2x,即t$g（x）在（一1,1）上恒成立。山于g（x）的图象是对称轴为x=-ft开口向上的抛物线3・
