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1、中考床轴题剖析（2012宝山）如图，已知线段AB,P是线段AB上任意一点（不与点A、B昭）,分別以AP、BP为边,在的同侧作等边△人円）和厶BPC,联结BQ与PC交于点E,联结CD.（I）当BC丄CD时，试求ZDBC的止切值；⑵若线段CD是线段DE和DB的比例中项，试求这时竺的值；PB（3）记四边形ABCD的面枳为S,当P在线段AB上运动时，S与是否成止比例，若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理山.（备用图）CC解：（1）•••等边△人刃）和4BPC,・•・PC=BC,ZCPD=60°,PD〃BC,（1^》）CDCD当BC丄CD时，tanZDBC=——=——,（1分）BCPC
2、・・・PC丄CD,—=sinZCPD=sin60°=—（I分）PC2由己知，CD1=DEDB,即竺=竺，CDDB乂ZDCE=/BCD,:.MCEs厶BCD（1分）.DECD_CE'~CD~~DB~~BC（1分）乂CP=BC,CE_CEBC~CP:.CD=BE（1分）（1分）DEBE_V5-1~BE~~DB~2（1分）•/PC〃BD,•CDCE_BE•~DB~~CP~^Ddebe—,即点E是线段BD的黄金分割点。BEDB又PC〃AD,•••APDEV5-1~PB~~BE~2（1分）⑶设AP=a,PB-b.•:（1分）s因为AD//PC,PD//BC,:.MPD°APDCAD~PCQ4PDCS
3、°BPCPD~BCS^PDDC.•SPDC~』Smpd.SnbpcPC=Tab（1分）/?:.S=—（a2+ab^-h2）（］分）4作DH丄AB,Ri则DH=—a,BH=-a+bf22・・・BD2==DH2+BH2=a2-^ab+b2（］分）・s…BD2~4.・・S与BD?是否成正比例，比例系数为』3.（1分）4分析评价：1、本题所采用的背景是学牛都熟悉的，七年级第二学期教材第114页中练习题2即为此图，当时为研究全等三如形，实际上联结AC将图形补完整，则图屮含数卜对相似三如形。2、本题在实质上仍是动点问题，即点P是主动点，但在沟通中略去了常见的题型一—函数关系的确定，而是直接采川了特
4、殊位置的探寻（第（1）、（2）题）与运动过程屮某种不变性的探索（第（3）题）o3、在三个小题的难度设置上，第（2）题与第（3）题基本上是并列的，可能命题者估计到学生对第（3）题的提问方式学生会更陌生些，而且从命题者提供的解答来看两者没有必然联系，而第（1）题与后两题的难度是有明显距离的。4、可以利用高中知识（正弦、余弦定理）很方便地得出解，是初屮命题要避免的。解法探讨:1、第(1)题有一个转换，即将问题从RtABCD转移到RtPCD中，利用的是平行,而原因是RtPCD中有60。的特殊角，总体上难度不太高。2、第(2)题在给出的解法屮，作了以下转化：①CD?=DEDBaDCEs'BCD
5、,—DECDCECDCE^CEBECDCEBE^CDBE②——=——=——=>——=——，③——=——=>——=——=——，④——=——=>CDDBBCDBCPCPBDDBCPBDDBBDr)EBECD=BE,⑤CD=BE=>—=——，⑥点E是线段BD的黄金分割点BEDBDEBEV5-1广、APDEV5-1,%f...,.n..BEDB2PBBE2骤过多，而且没有太明确的方向，尤其是在短时间内不易找到解题途径，如果按照每步的成功率80%,并看作各步是独立的，那么7步后的成功率21%。其实要得到CD=BE,可以由/BCE^/PCD获得，因为由△DCEs△BCD可得对应角相等，这样可以减少
6、转换步骤。3、第(3)题的解法是顺畅的，无非就是把目标(四边形面枳与BD2)表示出來，但对于学生nJ能设两个元是困难的，本质上设AP=xf是更为自然的，但运算量反而更大。4、如果能感受到木质上木题为一个以点P为主动点的问题，采川函数的观点来处理,可以统一地处理所有三个小题：设AB=lfAP=x,利用正弦、余弦定理易得：BD2=x2+(1-x)2+x(1-x),CD2=a:24-(1-x)2-x(1-x),Q_V32丄厲(\2命(S=4x—(1-x)—yx(1-兀)这样第(3)题反而被先解决了。第(1)题也只需在△BCD中利用勾股定理解一r)pApv元二次方程即可。对丁•第(2)题，只需
7、将QE表示处理即可，利用一=——这样DBAB1代入条件CD2=DEDB,解方程就行了。教学策略:1、函数观：在一个系统的变化过程屮，各变量间可能是相互独立的，也可能是相互牵制的，川函数來研究其中的后者是数学研究的一个重要方而。衣有些问题的构造中命题者将其显性化了，而在本题中没有这样处理，在教学中也应该让学生体会到这些。从这个角度來看木题的话，本题中只有一个独立变量CAP）,其它所有的变量均是它的函数，其实在第（3）题所给
