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1、中考压轴题剖析（2012宝山）如图，已知线段人B,P是线段上任意一点（不与点A、B重合）,分别以AP、BP为边，在的同侧作等边ZVIPD和△BPC,联结BD与PC交于点E,联结CD.（1）当BC丄CD时，试求ZDBC的正切值；⑵若线段CD是线段DE和M的比例中项，试求这时竺的值；PB⑶记四边形4BCD的面积为S,当P在线段AB±运动时，S与血$是否成止比例,若成正比例，试求出比例系数；若不成正比例，试说明理由.（备用图）解：（1）丁等边△人卩£）和厶BPC,・・・PC=BC,ZCPD=60°,PD〃BC,（1分）CDCD当BC丄am,tanZDBC=——=——,（1分）BCPC
2、CDR:.PC丄CD,——=sinZCPD=sin60°=—（1分）PC2r77厂门由已知，CD2=DEDB,即——=——，CDDB又上DCE=/BCD,:.DCEs'BCD（1分）.DECD_CE9~cd~~db~~bc（1分）又CP=BC,CE_CEBC~CP•••PC〃BD,・・竺=竺=竺，・・・CD-BEDBCPBD（1分）——（1分）DE_BEBE~DB即点E是线段BD的黄金分割点DEBE_V5-1~BE~~DB~2（1分）乂PC〃AD,・・・APDE_75-1PB~BE~2（1分）⑶设AP=afPB=b,:.SMPD=V32c~a，'悩PC=2o（1分）因为心P
3、C,pd〃bc,•••迸丁磊,总=
4、fCC’（1分）QZPD_QPDC•c_/ooT；_飞，••°APDC_7叽PD•»HBPC、4PDC'BPCa心才宀心2）（1分）:.S与BD2是否成正比例，比例系数为—・4（1分）作丄A3,则期=孚，BH=”（1分）:.BD2==DH2+BH2=cr+ab+b2分析评价：1、木题所采用的背景是学纶都熟悉的，七年级第二学期教材笫114页中练习题2即为此图，当时为研究全等三角形，实际上联结AC将图形补完整，则图中含数十对相似三角形。2、木题在实质上仍是动点问题，即点P是主动点，但在沟通中略去了常见的题型一—函数关系的确定，而是直接采用了
5、特殊位置的探寻（第（1）、（2）题）与运动过程屮某种不变性的探索（第（3）题）。3、在三个小题的难度设置上，第（2）题与第（3）题基本上是并列的，可能命题者估计到学生对第（3）题的提问方式学生会更陌生些，而口从命题者提供的解答来看两者没有必然联系，而第（1）题与后两题的难度是冇明显距离的。4、可以利用高屮知识（正弦、余弦定理）很方便地得出解，是初屮命题要避免的。解法探讨：1、第（1）题冇一个转换，即将问题从RtABCD转移到RtAPCD中，利用的是平行,而原因是RtPCD中冇60。的特殊角，总体上难度不太高。DECDCECDCE_CEBE=巴=生=匹④巴=匹=BDDBBD2、
6、第（2）题在给出的解法中，作了以下转化：®CD2=DE・DB=>APCE-ABCD,②==n=9③BD的黄金分割点上述解法中中间的转化步CDDBBCDBCPCPBDDBCPr)EBECD=BE,⑤CD=BE=>—=——,⑥点E是线段BEDB亠匹=竺=耳_,⑦pc/"g竺=竺=血BEDB2PBBE2骤过多，而且没有A明确的方向，尤其是在短时间内不易找到解题途径，如果按照每步的成功率80%,并看作各步是独立的，那么7步后的成功率21%。其实耍得到CD=BE,可以由ZCE3HPCD获得，因为由△DCE^/XBCDnJ"得对应角相等，这样口J以减少转换步骤。3、第（3）题的解法是顺畅的
7、，无非就是把日标（四边形面积与刃乎）表示出来，但对于学住可能设两个元是困难的，本质上设AB=}fAP=x,是更为H然的，但运算量反而更大。4、如果能感受到本质上本题为一个以点P为主动点的问题，采用函数的观点来处理,可以统一地处理所冇三个小题：设AB=l,AP=x,利用止弦、余弦定理易得：BP2=x2+（1-x）2+x（1-x）,CD2=x2+（l-x）2-x（l-x）,$=料+¥（］一可2+斗（1制这样第（3）题反1何被先解决了。第（1）题也只需在△BCD中利用勾股定理解一r）pApv元二次方程即可。对于第（2）题，只需将DE表示处理即町，利用——=——这样DBAB1代入条件C
8、D2=DEDB,解方程就行了。教学策略:1、函数观：在一个系统的变化过程中，各变量间町能是相互独立的，也对能是相互牵制的，用函数來研究其中的后者是数学研究的一个重要方面。在冇些问题的构造中命题者将英显性化了，而在本题中没有这样处理，在教学中也应该让学生体会到这些。从这个角度來看本题的话，本题小只有一个独立变量（AP）,其它所有的变量均是它的函数，其实在第（3）题所给出的解法中就是求出了四边形而积与BQ?关于独立变量（AF）的函数，而在第（1）、（2）题中只需导出CD?关于独立变量（AP）的函
