材料力学第6章弯曲应力

《材料力学第6章弯曲应力》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第6章弯曲应力第6章弯曲应力6.1纯弯曲与横力弯曲前一章的研究表明，一般情况下，梁的横截面上既有弯矩又有剪力。弯矩M是垂直于横截面的内力系的合力偶矩，剪力Q是切于横截面的内力系的合力。也就是说，横截面上只有与正应力有关的法向内力元素dFN=σdA才能合成为弯矩，而与剪应力有关的切向内力元素dFS=dA才能合成为剪力。所以，在梁的横截面上，一般是既有正应力又有剪应力。弯矩只与横截面上的正应力有关，剪力只与剪应力有关。如图6.1(a)所示的简支梁中，外力对称地作用在梁的纵向对称面内，其计算简图、剪力图和弯矩图分别如图6.1(

2、b)、(c)和(d)所示。可以看出，在CD段内，梁横截面上剪力等于零，而弯矩为常量，因而只有正应力而没有剪应力，这种弯曲称为纯弯曲。图5.2中火车轮轴两个车轮之间的一段梁就是发生的纯弯曲。在AC和BD两段内，梁横截面上既有弯矩又有剪力，因而既有正应力又有剪应力，这种弯曲称为横力弯曲或剪切弯曲。图6.1本章主要讨论等直梁在平面弯曲时弯曲正应力和弯曲剪应力的计算公式及相应的强度计算。6.2弯曲正应力纯弯曲是弯曲中最基本的情况。下面首先研究纯弯曲时的正应力，再将它推广到横力弯曲时正应力的计算。6.2.1纯弯曲试验纯弯曲试验容

3、易在材料试验机上实现。为了便于观察杆件的变形，在变形前的杆件表面作纵向线aa和bb，并作与它们垂直的横向线mm和nn(见图6.2(a))，然后在杆件的纵向对称面内施加大小相等、方向相反的力偶(见图6.2(b))，使其发生纯弯曲变形。可以观察到：变形后纵向线aa和bb变成了弧线(见图6.2(b))；横向线mm和nn仍然保持直线，它们相对转动了一个角度Δθ后，仍垂直于弧线aa和bb；梁发生如图6.2(b)所示的凸向下的弯曲变形后，靠近梁顶面的纵向线缩短了，靠近梁底面的纵向线伸长了。图6.2根据这些实验现象，可以对纯弯曲变形作如

4、下假设：(1)平面假设平面假设即变形前为平面的梁的横截面，变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。(2)单向受力假设单向受力假设即纵向纤维之间无相互挤压，只受到轴向拉伸或压缩。设想梁由众多平行于轴线的纵向纤维所组成。发生如图6.3所示凸向下的弯曲变形后，必然引起靠近梁底面的纵向纤维伸长，靠近梁顶面的纵向纤维缩短。由于横截面仍保持为平面，所以沿截面高度，应由靠近梁底面的纵向纤维的伸长连续地、逐渐地演变为靠近梁顶面的纵向纤维的缩短，由此断定中间必定有一层纤维的长度保持不变，这一层称为中性层。中性层与横截面的交线称为

5、中性轴，如图6.3所示。显然，位于中性层上、下两侧的纵向纤维的轴向变形是相反的，一侧表现为伸长，另一侧必然表现为缩短。图6.3依据上述分析，弯曲变形可描述为横截面绕各自中性轴的轻微转动。由于梁上的载荷都作用于梁的纵向对称面内，所以梁的整体变形应对称于纵向对称面，这就要求中性轴与纵向对称面垂直。6.2.2纯弯曲正应力纯弯曲时横截面上只有正应力，全部正应力的合力应该等于该横截面上的弯矩。由于纯弯曲时梁横截面上正应力的分布规律未知，因此，不能直接由弯矩M来确定正应力σ。和推导圆轴扭转剪应力计算公式相似，需要从研究构件的变形入手

6、，综合考虑变形几何关系、物理关系以及静力平衡关系，才能得到纯弯曲时的正应力。(1)变形几何关系弯曲变形前和变形后的梁段分别表示于图6.4(a)和(b)。以梁横截面的对称轴为y轴且向下为正(见图6.4(c))。以中性轴为z轴，但中性轴的位置尚待确定。在中性轴尚未确定之前，x轴只能暂时认为是通过原点的横截面的法线。根据弯曲平面假设，变形前相距为dx的两个横截面，变形后各自绕中性轴相对旋转了一个角度dθ，且仍然保持为平面。这就使得距中性层为y的纵向纤维bb的长度变为这里ρ为中性层的曲率半径。纵向纤维bb的原长度为dx，且bb=

7、dx=OO。由于变形前、后中性层内纵向纤维OO的长度不变，所以根据应变的定义，可以求得纵向纤维bb的应变为可见，纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比，沿截面高度呈线性分布。图6.4(2)物理关系根据单向受力假设，每一根纵向纤维都是单向拉伸或压缩，纵向纤维之间无相互挤压。当应力小于材料比例极限时，由胡克定律知将式(a)代入上式，得这表明，横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离y成正比。也就是正应力沿截面高度线性分布，沿截面宽度均匀分布，中性轴上正应力为零，如图6.4(d)所示。(3)静力平衡关系由式(b)还不能确定

8、纯弯曲时正应力的大小，因为中性轴z的位置和曲率半径ρ的大小尚未确定，须结合静力平衡关系才能推导出正应力计算公式。横截面上的微内力σdA组成垂直于横截面的空间平行力系(见图6.4(c)中只画出了该力系中的一个微内力σdA)，这一力系只可能简化成３个内力分量，即平行于x轴的轴力N，对y轴和z轴的力偶矩My