第十讲平面向量

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1、平面向量知识点归纳一.向量的基本概念与基本运算1、向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行③单位向量：模为1个单位长度的向量④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量2、向量加法：设，则+==（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；，但这时必须“首尾相连”．3、向量的减法：①相反向量：与长度相等、方向相反的向量，叫做的相反向量②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，③作图法：可以表

2、示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）4、实数与向量的积：实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的5、两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6、平面向量的基本定理：如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：，其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底二.平面向量的坐标表示1平面向量的坐标表示：平面内的任一向量可表示成，记作=(x,y)。2平面向

3、量的坐标运算：(1)若，则(2)若，则(3)若=(x,y)，则=(x,y)(4)若，则(5)若，则若，则三．平面向量的数量积1两个向量的数量积：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则·=︱︱·︱︱cos叫做与的数量积（或内积）规定2向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影3数量积的几何意义：·等于的长度与在方向上的投影的乘积4向量的模与平方的关系：5乘法公式成立：特别注意：（1）结合律不成立：；（2）消去律不成立不能得到（3）=0不能得到=或=；6平面向量数量积的运算律：①交换律成立：②对实数的结合律成立：③分配律成立

4、：7两个向量的数量积的坐标运算：已知两个向量，则·=8向量的夹角：已知两个非零向量与，作=,=,则∠AOB=（）叫做向量与的夹角cos==当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，9垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥10两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O平面向量数量积的性质例1给出下列命题：①若

5、

6、＝

7、

8、，则=；②若//，//，则//，③若=，=，则=，④=的充要条件是

9、

10、=

11、

12、且//；⑤若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；其中正确的序号是例2设A

13、、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：①，②③例3已知向量，，且，求实数的值例4已知两单位向量与的夹角为，若，试求与的夹角例5已知，，且与夹角为120°求⑴；⑵；⑶与的夹角。例6已知向量=，=。⑴求与；⑵当为何值时，向量与垂直？⑶当为何值时，向量与平行？并确定此时它们是同向还是反向？平面向量高考精选1.设，向量且，则（A）（B）（C）（D）2.设a，b是两个非零向量。下列选项正确的是（）A.若

14、a+b

15、=

16、a

17、-

18、b

19、，则a⊥bB.若a⊥b，则

20、a+b

21、=

22、a

23、-

24、b

25、C.若

26、a+b

27、=

28、a

29、-

30、b

31、，则存在实数λ，使得b

32、=λaD.若存在实数λ，使得b=λa，则

33、a+b

34、=

35、a

36、-

37、b

38、3.设、都是非零向量，下列四个条件中，使成立的充分条件是（）A、且B、C、D、4.设向量=（1.）与=（-1，2）垂直，则等于（）ABC.0D.-15.已知向量a=(1,—1)，b=(2,x).若a·b=1,则x=（）(A)—1(B)—(C)(D)16.若向量，，则（）A.B.C.D.7.已知向量a=（x-1,2），b=（2,1），则a⊥b的充要条件是A.x=-B.x-1C.x=5D.x=0二、填空题1.已知向量夹角为，且；则2.设向量，，，若，则______.[

39、3设单位向量m=（x，y），b=（2，-1）。若，则=_______________4.已知向量a=（1,0），b=（1,1），则（Ⅰ）与2a+b同向的单位向量的坐标表示为____________；（Ⅱ）向量b-3a与向量a夹角的余弦值为____________。5.已知正方形ABCD的边长为1，点E是AB边上的动点，则的值为________，的最大值为______。