第十讲 平面向量地基本运算

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1、第十讲平面向量的基本运算知识点金1．向量的有关概念⑴向量：规定了大小与方向的量称为向量。记作，其中A是向量的始点，B是向量的终点，也记。⑵向量的模：向量的大小，即线段AB的长度叫做向量的模，记

2、

3、或

4、

5、。⑶特殊向量：模为1的向量叫做单位向量，模为零的向量叫做零向量。零向量的方向任意，所有的零向量相等；单位向量不一定相等。⑷相等的向量：两个模相等且方向相同的向量是相等的向量。2．向量的运算⑴向量的加法：平行四边形法则；三角形法则。⑵向量的减法：(方向指向被减向量)。⑶向量的数乘：，当时，与方向相同，长度变为；当时，；当时，与方向相反，长度变为。⑷向量的内积：数量叫做向量与的内积(或

6、数量积)记。即，其中是向量与之间正方向的夹角。3．向量的运算法则⑴；⑵；⑶4．向量的共线与垂直⑴不共线的四个点A、B、C、D组成平行四边形的充要条件是或14；⑵两非零向量，共线的充要条件是存在不全为零的实数m，n，使得或；⑶两个非零向量，垂直的充要条件是。5．定比分点公式点C为线段AB的定比的分点，当且仅当对任意一点O，有；当C为中点时，。6．平面向量的基本定量对于同一平面的两个不共线的向量，平面内任意一个向量，一定存在惟一确定的实数，使得，且这种表示是惟一确定的。7．向量的坐标运算法则已知，则有：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸，其中是向量，的夹角。8．点按向量的平移点P(x,y)按向量平移

7、到点，则，其中称为平移向量。例题精析14例1：⑴已知P为四边形ABCD所在平面上的一点，若有，则点P的位置一定()A．在四边形ABCD的内部B．在四边形AB边所在的直线上C．在四边形BC边所在的直线上D．在AD边的延长线上⑵O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P满足，则P点的轨迹一定过()A．外心B．内心C．重心D．垂心分析：通过向量的基本运算结构，发现向量代表的几何关系：问题⑴主要是探索共线的向量；问题⑵主要是四边形的形状。解：⑴因为，所以在AD边的延长线上，故选D。⑵根据题设构建几何结构如图根据向量加法的四边形法则知是平分BC的中线，而与的方向相同，根据加

8、法的三角形法则，所以过三角形的重心。故选C。评注：本题主要巩固向量的加法与数乘的运算法则和几何意义，可以灵活地把条件改为或者，其结果改为通过三角形的内心。例2：如图，平行四边形ABCD，设，又，试用，表示向量。解析：；；。评注：平面向量的基本定理是向量解法的主要思路和依据，向量的表示是基础，对于一些几何问题，根据向量的运算法则，把相关的几何量用向量基底成功表示是问题解决的关键。14例3：在直角梯形中ABCD中，，已知(分别是x，y轴方向上的单位向量)，求实数x，y的值。分析：将的关系用同一基底下的坐标表示，建立关于x，y的两个等量关系，用方程解出。解：，因为，所以，即①又因，所以

9、②由①②解得：。评注：方程思想是解决向量运算含参数问题的主要数学思想方法，依据同一基底下的相同向量的坐标相等建立方程，达到解决问题的目的。例4：半径为1的圆O内接△ABC，且，⑴求数量积；⑵求△ABC的面积。分析：根据向量运算法则，合理地利用的和运算的关系，构造出关于的形式。解：⑴因为，所以，同理。⑵因为，，14，所以。评注：注意，但逆运算不成立。例5：平面直角坐标系中，点。⑴若向量的夹角，用x表示的函数关系f(x)；⑵求的最大值。解析：⑴⑵，因为，所以。故的最大值为。评注：利用向量的坐标运算背景是数学其他命题给出条件的常用方法。例6：设D、E、F三等分三角形ABC的各边，即BC

10、=3BD，CA=3CE，AB=3AF。求证：三角形ABC与三角形DEF有相同的重心。分析：利用“若G为三角形ABC的重心，则”的性质，把三角形ABC与三角形DEF的几何关系，通过向量运算关系转化为性质的形式。证明：设G为三角形ABC的重心，则所以G也是三角形DEF的重心，命题得证。例7：已知，且与的夹角为30°，试求与的夹角。14解：设与的夹角为，则因所以，故。评注：向量的夹角范围是，用反三角表示时，要与主值区间相对应。例8：在△AOB中，，AD与BC交于点M，设⑴试用表示向量；⑵在线段AC上取一点E，线段BD上取一点F，使得EF过点M，设，求证：。分析：根据条件可知，给出可以作

11、为向量的基底，从基本定理出发寻求解决问题的思路。证明：⑴设，则。因为A、M、D共线，所以①又，而C、M、B共线，所以②联立①②解出。所以。⑵因由于E、M、F共线，所以，化简得：。14评注：利用向量共线的条件确定待定的参数是向量方法解决几何问题的一种常用手段，在向量运算关系较为复杂的情况下，可先根据基本定理用参数进行表示，再通过代数方法确定。例9：设四面体ABCD中，G是底面△BCD的重心，求证：。分析：空间向量与平面向量的几何运算方法是一致的，其主要的区别是要在空间几何的基础上确