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1、平面向量基本运算一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.1.化简-+-的结果为________.2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量;④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是________.3.已知向量a=(1,2),b=(-3,2),若ka+b与b平行,则k=________.4.在△ABC中,已知D是AB边上一点,若=2,=+λ,则λ=________.5.已知a=(2,3),b=(-4,7),则a在b方向上的投影为______.6.
2、与向量a=(12,5)平行的单位向量为________.7.若α,β是一组基底,向量γ=xα+yβ(x,y∈R),则称(x,y)为向量γ在基底α,β下的坐标,现已知向量a在基底p=(1,-1),q=(2,1)下的坐标为(-2,2),则a在另一组基底m=(-1,1),n=(1,2)下的坐标为__________.8.若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180°,且
3、b
4、=3,则b=________.9.已知a⊥b,
5、a
6、=2,
7、b
8、=3,且3a+2b与λa-b垂直,则实数λ的值为________.10.已知a=
9、(2,-1),b=(λ,3),若a与b的夹角为钝角,则λ的取值范围是____________.11.如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是________.12.等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=,AD是BC边上的高,P为AD的中点,点M、N分别为AB边和AC边上的点,且M、N关于直线AD对称,当·=-时,=________.13.O是平面上一定点,A、B、C是平面上不共线的三个点,动点P满足:=+λ,λ∈[0,+∞),则P的轨迹一定通过△ABC的_
10、_____.(填“外心”、“内心”、“垂心”或“重心”)14.如图所示,两块斜边长相等的直角三角板拼在一起,若=x+y,则x=________,y=________.二、解答题:本大题共6小题,共90分.15.(本小题满分14分)已知向量,求:(1)(2)的值。16.(本小题满分14分)已知平行四边形三个顶点的坐标分别为(-1,0),(3,0),(1,-5),求第四个顶点的坐标.17.(本小题满分14分)设平面上有两个向量a=(cosα,sinα)(0°≤α<360°),b=.(1)求证:向量a+b与a-b垂直;(
11、2)当向量a+b与a-b的模相等时,求α的大小.18.(本小题满分16分)如图所示,△ABC中,点M是BC的中点,点N在边AC上,且AN=2NC,AM与BN相交于点P,求AP∶PM的值.19.(本小题满分16分)已知m、x∈R,向量a=(x,-m),b=((m+1)x,x).(1)当m>0时,若
12、a
13、<
14、b
15、,求x的取值范围;(2)若a·b>1-m对任意实数x恒成立,求m的取值范围20.(本小题满分16分)如图,半径为1圆心角为的圆弧AB上有一点C.(1)若C为圆弧AB的中点,D在线段OA上运动,求
16、+
17、的最小值.
18、(2)若D、E分别为线段OA、OB的中点,当C在圆弧AB上运动时,求·的取值范围.平面向量基本运算参考答案1.2.①②③3.04.5.6.或7.(0,2)8.(-3,6)9.10.(-∞,-6)∪11.第11题解析:以A为坐标原点,AB,AD所在的直线分别为x轴,y轴建立直角坐标系,则B(,0),E(,1),D(0,2),C(,2).设F(x,2)(0≤x≤),由·=⇒x=⇒x=1,所以F(1,2),·=(,1)·(1-,2)=.12.3第12题解析:由等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,AB=,AD是BC边上的
19、高,P为AD的中点知,AD=1,AP=.由·=-知(+)·(+)=-,即2+(+)·+·=-.又M、N关于直线AD对称,得
20、
21、××cos135°+
22、
23、××cos135°=-,故
24、
25、=,所以=3.13.内心14. 1+ 第14题解析 方法一 结合图形特点,设向量,为单位向量,由=x+y知,x,y分别为在,上的投影.又
26、BC
27、=
28、DE
29、=,∴
30、
31、=
32、DE
33、·sin60°=.∴在上的投影x=1+cos45°=1+×=1+,在上的投影y=sin45°=.方法二 ∵=x+y,又=+,∴+=x+y,∴=(x-1)+y.又⊥,∴
34、·=(x-1)2.设
35、
36、=1,则由题意
37、
38、=
39、
40、=.又∠BED=60°,∴
41、
42、=.显然与的夹角为45°.∴由·=(x-1)2,得×1×cos45°=(x-1)×12.∴x=+1.同理,在=(x-1)+y两边在取数量积可得y=.15.⑴因为,所以,………………………2分解得,又因为,………………………………………4分所以,,………………………………………6分所