平面向量的概念、运算及平面向量基本定理.doc

《平面向量的概念、运算及平面向量基本定理.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理突破点(一)　平面向量的有关概念知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量平面向量的有关概念[典例]　(1)设a，b都是非零向量，下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)A．a＝－b　　　　　B．a∥bC．a＝2bD．a∥b且

2、a

3、＝

4、b

5、(2)设a0为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝

6、a

7、·a0；②若a与a0平行，则a＝

8、a

9、a0；③若a与a0平行且

10、a

11、＝1，则a＝a0.假命题的个数是(　　)A．0　　　　B．1C．

12、2　　　　D．3[解析]　(1)因为向量的方向与向量a相同，向量的方向与向量b相同，且＝，所以向量a与向量b方向相同，故可排除选项A，B，D.当a＝2b时，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分条件．(2)向量是既有大小又有方向的量，a与

13、a

14、a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－

15、a

16、a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3.[答案]　(1)C　(2)D[易错提醒](1)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它

17、们的模可以比较大小；(2)大小与方向是向量的两个要素，分别是向量的代数特征与几何特征；(3)向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上．突破点(二)　平面向量的线性运算1．向量的线性运算：加法、减法、数乘2．平面向量共线定理：向量b与a(a≠0)共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使得b＝λa.平面向量的线性运算[例1]　(1)在△ABC中，＝c，＝b.若点D满足＝2，则＝(　　)A.b＋c　　　　B.c－bC.b－cD.b＋c(2)在△ABC中，N是AC边上一点且＝，P是BN上一点，若＝m＋，

18、则实数m的值是________．[解析]　(1)由题可知＝－＝b－c，∵＝2，∴＝＝(b－c)，则＝＋＝c＋(b－c)＝b＋c，故选D.(2)如图，因为＝，所以＝，所以＝m＋＝m＋.因为B，P，N三点共线，所以m＋＝1，则m＝.[答案]　(1)D　(2)[方法技巧]1．平面向量的线性运算技巧：(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．2．利用平面向量的线性运算求参

19、数的一般思路：(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．(3)比较，观察可知所求．平面向量共线定理的应用[例2]　设两个非零向量a和b不共线．(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求证：A，B，D三点共线．(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．[解]　(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，所以，共线．又与有公共点B，所以A，B，D三点共线．(2

20、)因为ka＋b与a＋kb共线，所以存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即解得k＝±1.即k＝1或－1时，ka＋b与a＋kb共线．[方法技巧]平面向量共线定理的三个应用(1)证明向量共线：对于非零向量a，b，若存在实数λ，使a＝λb，则a与b共线．(2)证明三点共线：若存在实数λ，使＝λ，与有公共点A，则A，B，C三点共线．(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值．[提醒]　证明三点共线时，需说明共线的两向量有公共点．突破点(三)　平面向量基本定理平面向量基本定理：如果e1

21、，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．基底的概念[例1]　如果e1，e2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是(　　)A．e1与e1＋e2　　　B．e1－2e2与e1＋2e2C．e1＋e2与e1－e2D．e1＋3e2与6e2＋2e1[解析]　选项A中，设e1＋e2＝λe1，则无解；选项B中，设e1－2e2＝λ(e1＋

22、2e2)，则无解；选项C中，设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则无解；选项D中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底．[答案]　D[易错提醒]某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量．　平面向量基本定理的应用[例2]　(2016·江西南昌二模)如图，在△ABC中，设＝a，＝b，AP的中点为Q，BQ的中点为R，CR的中点恰为P，则＝(　　)A