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1、第二节平面向量的基本定理及向量坐标运算考试说明内容知识要求了解(A)理解(B)掌握(C)平面向量的基本定理√平面向量的正交分解及其坐标表示√用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算√用坐标表示平面向量共线的条件√三年考题13年(3考)：陕西T2 广东T10 北京T1412年(2考)：浙江T15 天津T811年(3考)：广东T3 山东T12 湖南T13考情播报1.平面向量基本定理、向量的坐标运算及平面向量共线的坐标表示是近几年高考的重要考向2.题型以选择题、填空题为主,属于中、低档题【知识梳理】1.平面向量基本定理(1)基底:平面内_______的向
2、量e1,e2叫做表示这一平面内的所有向量的一组基底.(2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这个平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=__________.不共线λ1e1+λ2e22.平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,由平面向量基本定理知,该平面内的任一向量a可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一一对应的,把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=______,其中a在x轴上的坐标是x,a在y轴上的坐标是y.(x,y)3.
3、平面向量的坐标运算向量的加法、减法设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=____________,a-b=____________向量的数乘设a=(x,y),λ∈R,则λa=__________向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=____________向量共线的坐标表示若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔__________(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx,λy)(x2-x1,y2-y1)x1y2-x2y1=0【考点自测
4、】1.(思考)给出下列命题:( )①平面内的任何两个向量都可以作为一组基底;②在△ABC中,向量的夹角为∠ABC;③同一向量在不同基底下的表示是相同的;④设a,b是平面内的一组基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.其中正确的是( )A.①B.②C.③D.④【解析】选D.平面内不共线的两个向量可以组成一组基底,平面内同一向量在不同基底下的表示形式是不同的,故①③不正确;向量是有方向的,故在△ABC中,的夹角应是∠ABC的补角,故②不正确;根据平面向量基本定理,同一向量在基底a,b下的表现形
5、式是唯一的,故④正确.2.已知A(x,1),B(2,y),=(3,4),则x+y=()A.3B.-3C.4D.-4【解析】选C.由题意,得所以x+y=4.3.(2014·宜昌模拟)若向量a＝(1，1)，b＝(－1，1)，c＝(4，2)，则c＝()A.3a+bB.3a-bC.-a+3bD.a+3b【解析】选B.设c=xa+yb，则故c=3a-b.4.下列各组向量中,能作为基底的是( )①a=(1,2),b=(2,4);②a=(1,1),b=(-1,-1);③a=(2,-3),b=(-3,2);④a=(5,6),b=(7,8).A.①②B.②③C.③
6、④D.②④【解析】选C.对于①,显然b=2a,对于②,b=-a,故①②不能作为基底;对于③,因为2×2-(-3)×(-3)≠0,所以a,b不共线,故③能作为基底;对于④,因为5×8-6×7≠0,所以a,b不共线,故④能作为基底.综上应选C.5.(2014·张家界模拟)在□ABCD中，AC为一条对角线，则向量的坐标为________.【解析】设所以(1，3)=(2，4)+(x,y)，所以所以(-1，-1)-(2，4)=(-3，-5).答案：(-3，-5)6.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1，2)，若(a＋b)∥c，则实数m＝__
7、______.【解析】a＋b＝(1，m－1)．因为(a＋b)∥c，所以2－(－1)(m－1)＝0，所以m＝－1.答案：－1考点1平面向量基本定理及其应用【典例1】(1)(2014·临沂模拟)若a与b不共线，已知下列各组向量①a与-2b;②a+b与a-b;③a+b与a+2b;④其中可以作为基底的是_________(只填序号即可).(2)(2014·郑州模拟)如图，已知△OCB中，A是CB的中点，D是将分成2∶1的一个内分点，DC和OA交于点E，设①用a和b表示向量②若求实数λ的值.【解题视点】(1)由共线向量定理及基底的定义进行判断.(2)①由向量
8、加法的平行四边形法则及三角形法则求解;②由平面向量基本定理及共线向量定理求解.【规范解答】(1)因为a与b不共线，所以，对
