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《5.2平面向量基本定理及坐标运算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、5．2平面向量基本定理及坐标运算一、【教学目标】重点：掌握用基础向量表示其它向量的方法,掌握用坐标进行平面向量的加法，减法与数乘运算．难点：用平面向量解决几何问题时，隐含的三点共线条件的应用．能力点：培养学生的数形结合思想，转化思想和分类讨论思想，提高分析问题、解决问题的能力．教育点：通过平面向量基本定理把向量和坐标联系起来，培养学生辩证唯物主义观点，通过向量两种形式的线性运算，提高学生思维的严谨性．自主探究点：1．平面向量基本定理的内容，应用；2．恰当选择基底表示其它向量；3．平面向量基本定理和向量共线定理的综合应用；4．向量的坐标运算
2、．考试点:平面向量的线性运算包括几何形式的运算和坐标形式的运算．易错点：向量的夹角和三角形的内角范围区分．易混点:向量共线的充要条件和向量垂直的充要条件．拓展点:使学生进一步提高运用转化的观点来解决问题的自觉性，体会消元思想、数形结合思想和分类讨论思想等．二、【知识梳理】1．平面向量基本定理及坐标表示（1）平面向量基本定理如果是同一平面内的两个__________向量，那么对于这一平面内的任意向量，__________一对实数，使＝______________．其中，不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组________．（2）两个
3、向量的夹角已知两个____向量，在平面内任取一点,作＝，＝，则叫做向量与的夹角（如图）向量夹角的范围是__________，当________时，两向量共线．当____________时，两向量垂直，记作⊥．（3）平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个____________的向量，叫做把向量正交分解．（4）平面向量的坐标表示①在平面直角坐标系中，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量，作为基底，对于平面内的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，，使，这样，平面内的任一向量都可由，唯一确定，把有序数对________
4、叫做向量的坐标，记作＝__________，其中______叫做在轴上的坐标，______叫做在轴上的坐标．②设，则向量的坐标就是________的坐标，即若，则点坐标为__________，反之亦成立（是坐标原点）．2．平面向量的坐标运算（1）向量的加法和减法若则（2）实数与向量的乘积若则（3）向量的坐标若起点终点则3．平面向量共线的坐标表示设，其中，⇔__________________________．三、【范例导航】例1.如图，在平行四边形中，分别为，的中点，已知＝，＝，试用,表示，．【分析】选出平行四边形的两个邻边表示的向量为基
5、底，其它向量用基底表示解方程得到．【解答】方法一 设＝，＝则①②将②代入①得∴代入②得:．∴,方法二 设＝，＝因为分别为DC，BC的中点所以,,因而,即,【点评】 利用基底表示未知向量，实质就是利用向量的加、减法及数乘进行线性运算．CBOA变式训练：1．如图,平面内有三个向量,其中与的夹角为，与的夹角为，且，若则的值为________．答案：例2．已知点，，，，(1)求点在第二象限的充要条件．(2)证明：当时，不论为何实数，三点共线．(3)试求当满足什么条件时，能组成一个平行四边形．【分析】本题的关键是写出相关向量的坐标,利用坐标结合相应
6、位置关系确定结果．【解答】(1)解：， 在第二象限的充要条件是有解．∴且(2)证明： 当时，有，∴，∴不论为何实数，三点共线．(3)解：由，得点,∴能组成一个平行四边形有三种情况：当，有⇒；当，有⇒；当，有⇒．【点评】1．向量坐标化才能有利于代数运算；此外，如何运用平行四边形的性质，找解决问题的切入口．2．向量本身就具有数形结合的特点，所以在解决此类问题时，要注意画图，利用数形结合的思想求解．变式训练：2．已知，，，且，，试求点，和的坐标．答案：∵，，∴∴设，则，∴∴∴．同理可得，因此．∴所求，,．例3平面内给定三个向量,请解答下列问题：
7、（1）求满足的实数；（2）若，求实数；（3）若满足，且，求．【分析】（1）把坐标带入利用向量相等的充要条件列方程组求解；（2）利用向量共线的充要条件列方程；（3）把两个条件转化为坐标形式的方程组求解．【解答】 （1）由题意得，所以，得．（2）∵,∴∴ （3）设,,由题意得,解得或，∴或．【点评】（1）运用向量的坐标表示，使向量的运算完全代数化，将数与形有机的结合．（2）根据平行的条件建立方程求参数，是解决这类题目的常用方法，充分体现了方程思想在向量中的应用．变式训练：3．已知．（1）求；（2）当k为何实数时，与平行，平行时它们是同向还是反
8、向？【答案】 （1）．（2）,此时向量与方向相反．四、【解法小结】1．在解决具体问题时，合理地选择基底会给解题带来方便．在解有关三角形的问题时，可以不去特意选择两个基本向量，而可以用三边所在的
