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1、第二节平面向量的基本定理及向量坐标运算【知识梳理】1.必会知识教材回扣 填一填(1)平面向量基本定理:①基底:平面内_______的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.②定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=__________.不共线λ1e1+λ2e2(2)平面向量的坐标表示:在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,该平面内的任一向量a可表示成a=xi+yj,由于a与数对(x,y)是一
2、一对应的,把有序数对(x,y)叫做向量a的坐标,记作a=______,其中a在x轴上的坐标是x,a在y轴上的坐标是y.(x,y)(3)平面向量的坐标运算:向量的加法、减法设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=_____________,a-b=____________向量的数乘设a=(x,y),λ∈R,则λa=__________向量坐标的求法设O(0,0)，A(x1,y1),B(x2,y2)，则①=_______②=____________(x1+x2,y1+y2)(x1-x2,y1-y2)(λx,
3、λy)(x1,y1)(x2-x1,y2-y1)(4)向量共线的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔________=0,特别地,若x2,y2≠0,则a∥b⇔x1y2-x2y12.必备结论教材提炼 记一记若是平面内不共线的向量,则存在实数λ1,λ2使则当λ1+λ2=1时,A,B,C三点共线.特别地,当λ1=λ2=时,C是A与B的中点.3.必用技法核心总结 看一看(1)常用方法:待定系数法.(2)数学思想:数形结合思想,函数与方程思想.【小题快练】1.思考辨析静心思考 判一判(1)平面向量不论
4、经过怎样的平移变换之后其坐标不变.( )(2)平面内任何两个不共线的向量均可作为一组基底.( )(3)向量与的夹角为∠ABC.( )(4)在同一组基底下同一向量的表现形式是唯一的.( )【解析】(1)正确.由向量的坐标表示可知向量不论怎样平移,其坐标均为终点坐标减去起点坐标,故平移后坐标不变.(2)正确.由基底的定义可知,只要两向量不共线均可作为一组基底.(3)错误.两向量的夹角,关键要看起点与方向,与的夹角应为∠ABC的补角.(4)正确.由平面向量基本定理可知存在唯一实数对λ,μ使a=λe1+μe2故其表
5、现形式唯一.答案:(1)√ (2)√ (3)× (4)√2.教材改编链接教材 练一练(1)(必修4P98例7改编)已知A(-1,-1),B(1,3),C(2,λ),若A,B,C三点共线,则λ=.【解析】由已知得=(2,4),=(1,λ-3).若A,B,C三点共线,则2(λ-3)-1×4=0,即2λ=10,得λ=5.答案:5(2)(必修4P99例8改编)设P是线段P1P2上的一点,若P1(2,3),P2(4,7)且P是P1P2的一个四等分点,则P的坐标为.【解析】由题意可知,P是P1P2的一个四等分点有三种情况:即=
6、或=3或=,设P(x,y),则=(x-2,y-3),=(4-x,7-y),若=,则(x-2,y-3)=(4-x,7-y),即 得若=3,则(x-2,y-3)=3(4-x,7-y),即得若=,则(x-2,y-3)=(4-x,7-y),即得答案:或或(3,5)3.真题小试感悟考题 试一试(1)(2014·福建高考)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是( )A.e1=(0,0),e2=(1,2)B.e1=(-1,2),e2=(5,-2)C.e1=(3,5),e2=(6,10)D.e1=(2,-3),e2
7、=(-2,3)【解析】选B.只有B选项两个向量不共线,其他选项的向量都是共线的,不共线的向量方可成为基底,才可以表示向量a.(2)(2015·南宁模拟)在下列向量组中可以把a=(4,2)表示出来的是( )A.b=(0,0),c=(3,2)B.b=(1,1),c=(-1,1)C.b=(1,-1),c=(-1,1)D.b=(2,4),c=(1,2)【解析】选B.由已知A中,b=0,而C,D中两向量共线,不符合作为基底的条件,而B中,a=3b-c,所以选B.(3)(2015·成都模拟)在▱ABCD中,AC为一条对角线,
8、=(2,4),=(1,3),则向量的坐标为.【解析】设=(x,y),因为所以(1,3)=(2,4)+(x,y),所以即所以=(-1,-1),所以=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5).答案:(-3,-5)考点1平面向量基本定理及其应用【典例1】(1)(2015·广州模拟)设a是已知的平面向量且a≠0,关于向量a的分解,有如下四个命题:①给定向量b,总存
