平面向量概念、运算和平面向量基本定理

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1、05—平面向量的概念、运算及平面向量基本定理突破点（一）平面向量的有关概念知识点：向量、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、相反向量考点平面向量的有关概念［典例］（1）设a,〃都是非零向量，下列四个条件中，使备=诗成立的充分条件是（）A・a=-bB・a//hC・a=2hD・allb且圍=

2、洌（2）设血为单位向量，下列命题中：①若a为平面内的某个向量，则a=

3、«Ho；②若a与心平行，则a=aa（）；③若a与a（）平彳丁且

4、a

5、=l,则a=a（）.假命题的个数是（）A.0C-2D.3［解析］（1）因为向

6、量备的方向与向量a相同，向量器的方向与向量〃相同，且畚=缶，所以向量a与向量方方向相同，故可排除选项A,B,D・当a=2b时，故a=2〃是詁器成立的充分条件.（2）向量是既有大小又有方向的量，a与阀例）的模相同，但方向不一定相同，故6是假命题；若a与a。平行，则a与血的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a=—0

7、血，故②③也是假命题.综上所述，假命题的个数是3・［答案］（1）C⑵D（1）两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小；（2）大小与方向是向量的两个要素,分别是向

8、量的代数特征与几何特征；（3）向量可以自由平移，任意一组平行向量都可以移到同一直线上.突破点（二）平面向量的线性运算1.向量的线性运算：加法、减法、数乘2.平面向量共线定理：向量〃与aSHO）共线的充要条件是有且只有一个实数2,使得b=皿考点一平面向量的线性运算［例1］⑴在△ABC中，AB=c,AC=b.若点D满足BD=2DC,则AD=()12(2)在中，N是4C边上一点且AN=qNC,P是BN上一点,AP=mABAC9则实数加的值是・22［解析］(1)由题可知BC=AC—AB=b—c,TBD=2DC,；

9、・BD=jBC=)(b—c),则AD=221AB+BD=c+§(〃一c)=s〃+3c,故选D・ii2(2)如图，因为AN=2NC,所以AN=^AC,所以AP=mAB+^AC=inAB+^AN.因为B,P9N三点、共线,所以m+j=l,则加=£・［答案］(DD(2)

10、［方法技巧］_1・平面向量的线性运算技巧：⑴不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解.（2）含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解.2.利用平面向量的

11、线性运算求参数的一般思路：（1）没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置.（2）利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式.（3）比较，观察可知所求.考点二平面向量共线定理的应用［例2］设两个非零向量a和方不共线.（1）若BC=2a+8b,CD=3（a~b）.求证：A,B,D三点共线.（2）试确定实数乩使如+b和a+kb共线.［解］(1)证明：因为AB=a+bfBC=2a+8b,CD=3(a-b)f所以BD=BC+CD=2a+8b+3(a-b)=5(a+b)=5AB,所以ABt共线.又

12、4〃与BD有公共点B,所以A,B,D三点共线.(2)因为ka+b与a+kb共线，所以存在实数2,使ka+b=A(a+kb)9k=入,即

13、解得比=±1•即k=l或一1时，ka+b与a+kb共线.〔1=弘，［方法技巧］平面向量共线定理的三个应用(1)证明向量共线：对于非零向量°,伉若存在实数儿使a=肋，则a与b共线.(2)证明三点共线：若存在实数几使AB=xACfAB与AC有公共点A,则a,b,c三点共线.(3)求参数的值：利用向量共线定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值.［提醒］证明三点共线时，需说明

14、共线的两向量有公共点.突破点(三)平面向量基本定理平面向量基本定理：如果S，的是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数入,必，使a=2曲+总2•其中，不共线的向量S，血叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.考点一底的概念［例1］如果S，£2是平面内一组不共线的向量，那么下列四组向量中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是()A.勺与01+^2B.勺一2^2与01+2^2C.勺+仑2与勺―02D.01+3^2与6^2+2®［=2,(1=2,［解析］选项A中，设s+e2=

15、2s,则

16、无解；选项B中，设e1—2e2=2(ei+2e2),则

17、1=01—2=22无解；选项C中，设01+02=2(®—02),则无解；选项D中，01+302=3(602+2®),所以两向量是共线向量，不能作为平面内所有向量的一组基底.［答案］D［易错提醒］某平面内所有向量的一组基底必须是两个不共线的向量，不能含有零向量.考点二平面向量基本定理的应用［例2］(2016-江西南昌二模妆口图，在厶ABC中，设AB=atAC=b9