平面向量的基本运算.doc

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1、平面向量平面向量的基本运算高考要求1理解向量的概念，掌握向量的几何表示，了解共线向量的概念2掌握向量的加法和减法3掌握实数与向量的积理解两个向量共线的充要条件知识点归纳1向量的概念：①向量：既有大小又有方向的量向量一般用……来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：几何表示法，；坐标表示法向量的大小即向量的模（长度），记作

2、

3、即向量的大小，记作｜｜向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小．②零向量：长度为0的向量，记为，其方向是任意的，与任意向量平行零向量＝｜｜＝0由于的方向是任意的，且规定平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注

4、意与0的区别）③单位向量：模为1个单位长度的向量向量为单位向量｜｜＝1④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向量，称为平行向量记作∥由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的．⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为大小相等，方向相同2向量加法求两个向

5、量和的运算叫做向量的加法设，则+==（1）；（2）向量加法满足交换律与结合律；向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：（1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量（2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：，但这时必须“首尾相连”．3向量的减法①相反向量：与长度

6、相等、方向相反的向量，叫做的相反向量记作,零向量的相反向量仍是零向量关于相反向量有：（i）=；(ii)+()=()+=；(iii)若、是互为相反向量，则=,=,+=②向量减法：向量加上的相反向量叫做与的差，记作：求两个向量差的运算，叫做向量的减法③作图法：可以表示为从的终点指向的终点的向量（、有共同起点）4实数与向量的积：①实数λ与向量的积是一个向量，记作λ，它的长度与方向规定如下：（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，λ的方向与的方向相同；当时，λ的方向与的方向相反；当时，，方向是任意的②数乘向量满足交换律、结合律与分配律5两个向量共线定理：向量与非零向量共线有且只有一个实数，使得=6平面向量的基本定理：

7、如果是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量，有且只有一对实数使：其中不共线的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基底7特别注意:（1）向量的加法与减法是互逆运算（2）相等向量与平行向量有区别，向量平行是向量相等的必要条件（3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合），而向量平行则包括共线（重合）的情况（4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算向量的模、两点的距离、

8、向量的夹角，判断两向量是否垂直等由于向量是一新的工具，它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点题型讲解例1给出下列命题：①若

9、

10、＝

11、

12、，则=；②若A，B，C，D是不共线的四点，则是四边形ABCD为平行四边形的充要条件；③若=，=，则=，④=的充要条件是

13、

14、=

15、

16、且//；⑤若//，//，则//，其中正确的序号是解：点评：本例主要复习向量的基本概念．向量的基本概念较多，因而容易遗忘．为此，复习时一方面要构建良好的知识结构，另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类比和联想．例2如图所示，已知正六边形ABCDEF，O是它的中心，若=，=，试用，将向量，，，表示

17、出来．解：点评：其实在以A，B，C，D，E，F及O七点中，任两点为起点和终点，均可用，表示，且可用规定其中任两个向量为，，另外任取两点为起点和终点，也可用，表示．例3设A、B、C、D、O是平面上的任意五点，试化简：①，②③解：例4设为未知向量，、为已知向量，解方程2-(5+3-4)+-3=0例5设非零向量、不共线，=k+，=+k(kÎR)，若∥，试求k解例6如图：已知在平行四边形ABCD中，AH=HD，BF=MC=BC，