平面向量专题精讲

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1、平面向量专题精讲第1讲　平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为零的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为±平行向量方向相同或相反的非零向量0与任一向量平行或共线共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定　义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交

2、换律：a＋b＝b＋a.(2)结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)减法求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差a－b＝a＋(－b)数乘求实数λ与向量a的积的运算(1)

3、λa

4、＝

5、λ

6、

7、a

8、；(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同λ(μa)＝λμa；(λ＋μ)a＝λa＋μa；；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0λ(a＋b)＝λa＋λb3.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b＝λa.第2讲　平面向量基本定理及坐标表示知识梳理1.平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面内的两个不

9、共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.其中，不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.2.平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.3.平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，

10、a

11、＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标.②设A(x1，y1)，B(

12、x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，

13、

14、＝.4.平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.第3讲　平面向量的数量积及其应用知识梳理1.平面向量数量积的有关概念(1)向量的夹角：已知两个非零向量a和b，记＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.(2)数量积的定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量

15、a

16、

17、b

18、cos__θ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝

19、a

20、

21、b

22、cos__θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0

23、.(3)数量积的几何意义：数量积a·b等于a的长度

24、a

25、与b在a的方向上的投影

26、b

27、cos__θ的乘积.2.平面向量数量积的性质及其坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角.(1)数量积：a·b＝

28、a

29、

30、b

31、cosθ＝x1x2＋y1y2.(2)模：

32、a

33、＝＝.(3)夹角：cosθ＝＝.(4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.(5)

34、a·b

35、≤

36、a

37、

38、b

39、(当且仅当a∥b时等号成立)⇔

40、x1x2＋y1y2

41、≤·.3.平面向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律).(2)λa·b＝

42、λ(a·b)＝a·(λb)(结合律).(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律).第1讲　平面向量的概念及线性运算基础巩固题组一、选择题1.已知下列各式：①＋＋；②＋＋＋；③＋＋＋；④－＋－，其中结果为零向量的个数为(　　)A.1B.2C.3D.42.设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是(　　)A.a与λa的方向相反B.a与λ2a的方向相同C.

43、－λa

44、≥

45、a

46、D.

47、－λa

48、≥

49、λ

50、·a3.如图，在正六边形ABCDEF中，＋＋＝(　　)A.0B.C.D.4.设a0为单位向量，下述命题中：①若a为平面内的某个向量，则a＝

51、a

52、a0；

53、②若a与a0平行，则a＝

54、a

55、a0；③若a与a0平行且

56、a

57、＝1，则a＝a0.假命题的个数是(　　)A.0B.1C.2D.35.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则＋＋＋等于(　　)A.B.2C.3D.46.在△ABC中，＝c，＝b，若点D满足＝2，则等于(　　)A.b＋cB.c－bC.b－cD.b＋c7.(2017·温州八校检测)设a，b不共线，＝2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为(　　)A.－2B.－1C.1D.28.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半

58、圆弧的两个三等分点，＝a，＝b，则＝(　　)A.a－b　　B.a－bC.a＋b　　D.a＋b二、填空题9.如图，点O是正六边形ABCDE