平面向量专题

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1、平面向量（一）一向量的有关概念1．向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意:不能说向量就是有向线段.2．零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意的；3．单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量表示与共线的单位向量；4．相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；起点相同、终点相同的向量是相等向量，反之不一定成立；向量相等具有传递性。5．平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量、叫做平行向量，记作：∥，规定零

2、向量和任何向量平行。理解：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线,但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！即：。④三点共线共线；.平面内三点练习：1,若∥，则x的值为(　)(A)-5(B)-1(C)1(D)56．相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是－。如下列命题：（1）若，则。（2）两个向量相等的等价条件是它们的大小相同相同，方向相反。（3）若，则是平行四边形。（4）若是平行四边形，则。（5

3、）若，则。（6）若，则。其中正确的是_______下列命题是否正确，不正确的说明理由。7.向量的表示方法：(1)几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；(2)符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，，等；(3)坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底、，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，＝叫做向量的坐标表示。如果14向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同。二向量的运算运算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+==记=(x1,y

4、1),=(x1,y2)则=(x1+x2,y1+y2)=（x2-x1,y2-y1）+=实数与向量的乘积（向量）=λλ∈R记=(x,y)则λ=(λx,λy)两个向量的数量积（数量）记则·=x1x2+y1y2练习：(1)化简：①___；②；③。（2）若正方形的边长为1，，则＝___;（3）若O是所在平面内一点，且满足，则的形状为.补充：填空：设向量与都不是零向量(1)若向量与同向,则与的方向______,且______.(2)若与反向,且,则与的方向______,且______.运算律(1)加法：①(交换律);②(结

5、合律)(2)减法：(3)实数与向量的乘积：①;②;③(4)两个向量的数量积:①·=·;②(λ)·=·(λ)=λ(·);③(+)·=·+·④注：根据向量运算律可知，两个向量之间的线性运算满足实数多项式乘积的运算法则，正确迁移实数的运算性质可以简化向量的运算，例如(±)2=1.实数与向量的大小和方向规定如下：当>0时，的方向与的方向相同，当<0时，的方向与的方向相反，当＝0时，，注意：≠0。2.向量的共线向量基本定理共线向量基本定理：与共线当且仅当存在唯一一个实数，使得14。即与共线练习：1.已知平面向量，平面向量

6、若∥，则实数2.设向量若向量与向量共线，则3.已知向量若平行，则实数的值是（）A．-2B．0C．1D．23.平面向量的数量积（1）定义：如果两个非零向量，，它们的夹角为，我们把数量叫做与的数量积（或内积或点积），记作：，即＝。（2）的几何意义：数量积等于的模与在上的投影的积。如：1已知，，且，则向量在向量上的投影为。2.已知，的夹角，则向量在向量上的投影为3.在△中，3．关于且，有下列几种说法：①；②；③④在方向上的投影等于在方向上的投影；⑤；⑥其中正确的个数是（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个（3）

7、向量数量积的性质：设两个非零向量，，其夹角为，则：①；练习：1.已知向量，则实数的值为2．已知向量3．已知=（1，2），=（-3，2）若k+2与2-4垂直，求实数k的值144．已知，且的夹角为，若②当，同向时，＝，特别地，；当与反向时，＝－；思考：（1）若，则是否为锐角？；（2）若，则是否为钝角？如：已知，，如果与的夹角为锐角，则的取值范围是______.③非零向量，夹角的计算公式：；④。练习1.求向量夹角的问题(1)平面向量，满足且满足，则的夹角为;(2).已知非零向量满足，则的夹角为;(3).已知平面向量满

8、足且，则的夹角为.练习2.求向量摸的问题（1）已知零向量；（2）已知向量满足；（3）已知向量，；（4）已知向量的最大值为。（5）.已知向量，，设函数⑴求函数的解析式（2）求的最小正周期；14（3）若，求的最大值和最小值．平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量a，有且只有一对实数、，使a=e1＋e2。如如：（1）若，则（2）下列向量组中，