平面向量专题复习

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1、专题复习：平面向量　　一、本章知识结构：　　　二、重点知识回顾　1.向量的概念：既有大小又有方向的量叫向量,有二个要素：大小、方向.　　　2.向量的表示方法：①用有向线段表示；②用字母、等表示；③平面向量的坐标表示：分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底。任作一个向量，由平面向量基本定理知，有且只有一对实数、，使得，叫做向量的（直角）坐标，记作，其中叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标，特别地，，，。；若，，则，　　　3.零向量、单位向量：①长度为0的向量叫零向量，记为；②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量.（注：就是单位向量）　　　4

2、.平行向量：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我们规定与任一向量平行.向量、、平行，记作∥∥.共线向量与平行向量关系：平行向量就是共线向量.　　　5.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫相等向量.　　6.向量的加法、减法：　　①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。向量加法的三角形法则和平行四边形法则。②向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差。即：-=+(-)；　　　差向量的意义：=,=,则=-　　　③平面向量的坐标运算：若，，则，，。　④向量加法的交换律：+=+；向量加法的结合律：(+)+=+(+)　　　7．实数与向量的积：实数λ与向量

3、的积是一个向量，记作：λ　（1）

4、λ

5、=

6、λ

7、

8、

9、；（2）λ>0时λ与方向相同；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ=；（3）运算定律λ(μ)=(λμ)，(λ+μ)=λ+μ，λ(+)=λ+λ　　　　　　8．向量共线定理向量与非零向量共线（也是平行）的充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。　9．平面向量基本定理：如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2。(1)不共线向量、叫做表示这一平面内所有向量的一组基底；(2)基底不惟一，关键是不共线；(3)由定理可将任一向量在给出基底、的条

10、件下进行分解；(4)基底给定时，分解形式惟一.λ1，λ2是被，，唯一确定的数量。　10.向量和的数量积：①·=

11、

12、·

13、

14、cos，其中∈[0，π]为和的夹角。②

15、

16、cos称为在的方向上的投影。③·的几何意义是：的长度

17、

18、在的方向上的投影的乘积，是一个实数（可正、可负、也可是零），而不是向量。　　　④若=（，）,=（x2，）,则　⑤运算律：a·b=b·a,(λa)·b=a·(λb)=λ（a·b），（a+b）·c=a·c+b·c。　　⑥和的夹角公式：cos=＝　⑦

19、

20、2=x2+y2，或

21、

22、=⑧

23、a·b

24、≤

25、a

26、·

27、b

28、。　11．两向量平行、垂直的充要

29、条件设=（，）,=（，）　　①a⊥ba·b=0，=+=0；　②（≠）充要条件是：有且只有一个非零实数λ，使=λ。　　向量的平行与垂直的坐标运算注意区别，在解题时容易混淆。　　12.点P分有向线段所成的比的：，P内分线段时,;P外分线段时,.定比分点坐标公式、中点坐标公式、三角形重心公式：　　、、　　三、考点剖析　　　考点一：向量的概念、向量的基本定理　　【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。　　　注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移

30、后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。　如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量有且只有一对实数λ1、λ2，使=λ1+λ2.　　注意：若和是同一平面内的两个不共线向量，　　【命题规律】有关向量概念和向量的基本定理的命题，主要以选择题或填空题为主，考查的难度属中档类型。　　　　　例1、直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量．在直角三角形中，若，则的可能值个数是（　　）　　　Ａ．1Ｂ．2Ｃ．3Ｄ．4　解：如图，将A放在坐标原点，则B点坐标为(2,1)，C点坐标为(3,k)，所以C点在直线x=3上

31、，由图知，只可能A、B为直角，C不可能为直角．所以k的可能值个数是2，选B　点评：本题主要考查向量的坐标表示，采用数形结合法，巧妙求解，体现平面向量中的数形结合思想。　　　例2、如图，平面内有三个向量、、,其中与与的夹角为120°，与的夹角为30°,且

32、

33、＝

34、

35、＝1，　　

36、

37、＝，若＝λ+μ（λ，μ∈R）,　则λ+μ的值为.　　解：过C作与的平行线与它们的延长线相交，可得平行四边形，由角BOC=90°角AOC=30°，=得平行四边形的边长为2和4，2+4=6　　　点评：本题考查平面向量的基本定理，向量OC用向量OA与向量OB作为基底表示出来后，求

38、相应的系数，也考查了平行四边形法则。　　　考点二：向量的运算　　【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量