专题二第3讲平面向量.doc

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1、第3讲　平面向量【高考考情解读】　从近几年高考来看，平面向量有以下几个考查特点：1.向量的加法，主要考查运算法则、几何意义；平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容，主要考查运算能力和灵活运用知识的能力；试题常以填空题形式出现，难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合，以解答题形式呈现，难度中等．1．平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.(3)方向相

2、同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)向量的投影：

3、b

4、cos〈a，b〉叫做向量b在向量a方向上的投影．2．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．3．平面向量的两个充要条件若两个非零向量a＝(

5、x1，y1)，b＝(x2，y2)，则：(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.4．平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则

6、a

7、＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

8、

9、＝.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.考点一　平面向量的概念及线性运算例1　设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC.若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．(

10、2)△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，＋＋＝0且

11、

12、＝

13、

14、，则向量在上的投影为________．(1)在一般向量的线性运算中，只要把其中的向量当作字母，其运算就类似于代数中合并同类项的运算；有的问题采用坐标化解决更简单．(2)运用向量加减法解决几何问题时，要善于发现或构造三角形或平行四边形，使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”．运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合．(1)已知△ABC和点M满足＋＋＝0.若存在实数m使得＋＝m成立，则m的值为________．(2)如图，平面内有三个向量，，，其中

15、与的夹角为120°，与的夹角为30°，且

16、

17、＝

18、

19、＝1，

20、

21、＝2，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为________．考点二　平面向量的数量积例2　如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．(2)若a，b，c均为单位向量，且a·b＝0，(a－c)·(b－c)≤0，则

22、a＋b－c

23、的最大值为________．(1)涉及数量积和模的计算问题，通常有两种求解思路：①直接利用数量积的定义；②建立坐标系，通过坐标运算求解．(2)在利用数量积的

24、定义计算时，要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算．求平面向量的模时，常把模的平方转化为向量的平方．(1)(2013·山东)已知向量与的夹角为120°，且

25、

26、＝3，

27、

28、＝2.若A＝λ＋，且⊥，则实数λ的值为________．(2)(2013·重庆改编)在平面上，⊥，

29、

30、＝

31、

32、＝1，＝＋.若

33、

34、<，则

35、

36、的取值范围是________．考点三　平面向量与三角函数的综合应用例3　已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosx，sinx)，c＝(sinx＋2sinα，cosx＋2cosα)，其中

37、0<α

38、利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．已知向量a＝，b＝(cosx，－1)．(1)当a∥b时，求cos2x－sin2x的值；(2)设函数f(x)＝2(a＋b)·b，已知在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝，b＝2，sinB＝，求f(x)＋4cos(2A＋)(x∈[0，])的