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时间:2020-02-26
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1、第3讲 平面向量【高考考情解读】 从近几年高考来看,平面向量有以下几个考查特点:1.向量的加法,主要考查运算法则、几何意义;平面向量的数量积、坐标运算、两向量平行与垂直的充要条件是命题的重点内容,主要考查运算能力和灵活运用知识的能力;试题常以填空题形式出现,难度中等偏下.2.平面向量与三角函数、解析几何相结合,以解答题形式呈现,难度中等.1.平面向量中的五个基本概念(1)零向量模的大小为0,方向是任意的,它与任意非零向量都共线,记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量,a的单位向量为.(3)方向相
2、同或相反的向量叫共线向量(平行向量).(4)如果直线l的斜率为k,则a=(1,k)是直线l的一个方向向量.(5)向量的投影:
3、b
4、cos〈a,b〉叫做向量b在向量a方向上的投影.2.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.(2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底.3.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a=(
5、x1,y1),b=(x2,y2),则:(1)a∥b⇔a=λb⇔x1y2-x2y1=0.(2)a⊥b⇔a·b=0⇔x1x2+y1y2=0.4.平面向量的三个性质(1)若a=(x,y),则
6、a
7、==.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则
8、
9、=.(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cosθ==.考点一 平面向量的概念及线性运算例1 设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为________.(
10、2)△ABC的外接圆的圆心为O,半径为2,++=0且
11、
12、=
13、
14、,则向量在上的投影为________.(1)在一般向量的线性运算中,只要把其中的向量当作字母,其运算就类似于代数中合并同类项的运算;有的问题采用坐标化解决更简单.(2)运用向量加减法解决几何问题时,要善于发现或构造三角形或平行四边形,使用三角形法则时要特别注意“首尾相接”.运用平行四边形法则时两个向量的起点必须重合.(1)已知△ABC和点M满足++=0.若存在实数m使得+=m成立,则m的值为________.(2)如图,平面内有三个向量,,,其中
15、与的夹角为120°,与的夹角为30°,且
16、
17、=
18、
19、=1,
20、
21、=2,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为________.考点二 平面向量的数量积例2 如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是________.(2)若a,b,c均为单位向量,且a·b=0,(a-c)·(b-c)≤0,则
22、a+b-c
23、的最大值为________.(1)涉及数量积和模的计算问题,通常有两种求解思路:①直接利用数量积的定义;②建立坐标系,通过坐标运算求解.(2)在利用数量积的
24、定义计算时,要善于将相关向量分解为图形中模和夹角已知的向量进行计算.求平面向量的模时,常把模的平方转化为向量的平方.(1)(2013·山东)已知向量与的夹角为120°,且
25、
26、=3,
27、
28、=2.若A=λ+,且⊥,则实数λ的值为________.(2)(2013·重庆改编)在平面上,⊥,
29、
30、=
31、
32、=1,=+.若
33、
34、<,则
35、
36、的取值范围是________.考点三 平面向量与三角函数的综合应用例3 已知向量a=(cosα,sinα),b=(cosx,sinx),c=(sinx+2sinα,cosx+2cosα),其中
37、0<α38、利用三角函数的知识解决平面向量问题,在解决此类问题的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.已知向量a=,b=(cosx,-1).(1)当a∥b时,求cos2x-sin2x的值;(2)设函数f(x)=2(a+b)·b,已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB=,求f(x)+4cos(2A+)(x∈[0,])的
38、利用三角函数的知识解决平面向量问题,在解决此类问题的过程中,只要根据题目的具体要求,在向量和三角函数之间建立起联系,就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题.已知向量a=,b=(cosx,-1).(1)当a∥b时,求cos2x-sin2x的值;(2)设函数f(x)=2(a+b)·b,已知在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=,b=2,sinB=,求f(x)+4cos(2A+)(x∈[0,])的
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