高考数学 专题二 第3讲 平面向量（1）复习教学案 .doc

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1、教学内容：平面向量（1）教学目标：1平面向量的概念及线性运算2.平面向量的数量积3.平面向量与三角函数综合应用教学重点：平面向量的数量积和平面向量与三角函数综合应用教学难点：平面向量与三角函数综合应用教学过程：一、基础知识点1．必记的概念与定理(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．2．平面向量的两个重要定

2、理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在惟一一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．3．平面向量的数量积已知两个非零向量a与b，则数量

3、a

4、

5、b

6、cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cosθ，其中θ是a与b的夹角．向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.

11、4．记住几个常用的公式与结论(1)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)．(2)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a－b＝(x1－x2，y1－y2)．(3)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝－＝(x2－x1，y2－y1)．(4)设a＝(x，y)，λ∈R，则λa＝(λx，λy)．(5)设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2.(6)两向量a，b的夹角公式：cosθ＝(a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．(7)设a＝(x1，

12、y1)，b＝(x2，y2)，且a≠0，则a∥b⇔b＝λa⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b(b≠0)⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.5．需要关注的易错易混点(1)向量共线的充要条件中要注意“a≠0”，否则λ可能不存在，也可能有无数个．(2)只要两个向量不共线，就可以作为平面的一组基底，对基底的选取不惟一，平面内任意向量a都可被这个平面的一组基底e1，e2线性表示，且在基底确定后，这样的表示是惟一的．(3)要区分点的坐标与向量坐标的不同，尽管在形式上它们完全一样，但意义完全不同，向量坐标中既有方向的信息也有大小

13、的信息．复备栏(4)a·b>0是θ为锐角的必要非充分条件，a·b<0是θ为钝角的必要非充分条件．一、基础训练1．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________.解析：由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得答案：－2．(2014·宁夏模拟)已知向量a＝(2,1)，b＝(x，－2)，若a∥b，则a＋b＝________.解析：由a∥b可得2×(－2)－1×x＝0，故x＝－4，所以a＋b＝(－2，－1)．答案：(－2，－1)3．设x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－

14、2)，且a⊥b，则

15、a＋b

16、＝________.解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，∴x＝2.∴a＝(2,1)，∴a2＝5，b2＝5，

17、a＋b

18、＝＝＝＝.答案：4．已知

19、a

20、＝1，

21、b

22、＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角θ＝________.解析：∵a·(b－a)＝a·b－a2＝2，∴a·b＝2＋a2＝3.∴cosθ＝＝＝.∴向量a与b的夹角为.答案：二、例题精析例1、(2014·海南模拟)在△ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，＝λ＋μ，则λ＋μ的值为________．[解析]　设＝

23、m＝m(－)(0≤m≤1)，则＝＋＝(1－m)＋m，＝＝＋，所以λ＋μ＝＋＝.[答案]　变式训练：(2014·苏中联考)如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设＝a，＝b，若＝2，设＝u＋v，则3u＋3v＝________.解析：∵＝2，∴△DOC∽△BOA，且＝，∴＝＝(＋)＝＝a＋b.故3u＋3v＝3.答案：3例2、如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．解：以A为坐标原点，AB，AD所在直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系，则A

24、(0,0)，B(，0)，E(，1)，F(x,2)．故＝(，0)，＝(x,2)，＝(，1)，＝(x－，2)，∴·＝(，0)·(x,2)＝x.又·＝，∴x＝1.∴＝(1－，2)．∴·＝(，1)·(1－，2)＝－2＋2＝变式训练：2．(2014·高考江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________．解析：由＝3，得＝＝，＝＋