2019届高考数学二轮复习 专题二 第3讲 平面向量学案

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1、第3讲平面向量1．以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2．以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3．向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现．1．平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa．(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底．2．平面向量的两个充要条件

2、若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0．(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0．3．平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则

3、a

4、＝＝．(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

5、

6、＝．(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝．4．平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1)．(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是＝(＋)．(3

7、)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心⇔＋＋＝0⇔G．热点一　平面向量的有关运算【例1】(1)(2018·大连八中)已知向量，，，则m=（）A．-2B．2C．-3D．3(2)设D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，AD＝AB，BE＝BC．若＝λ1＋λ2(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．解析　(1)向量，，∴，∵，∴1×2＝﹣1（1+m），∴m＝﹣3．故选C．(2)＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，∵＝λ1＋λ2，∴λ1＝－，λ2＝，因此λ1＋λ2＝．答案　(1)C　(2)探究提高　对于平面向量的线性运算，首先要选择一组基底，同时注意共线向量定理

8、的灵活运用．其次运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．【训练1】(2019·广州一模)已知ΔABC的边BC上有一点DD满足BD=4DC，则AD可表示为()A．AD=14AB+34ACB．AD=34AB+14ACC．AD=45AB+15ACD．AD=15AB+45AC解析由题意可知AD=AB+BD=AB+45BC=AB+45AC-AB=AD=15AB+45AC．，故选D．答案　D热点二　平面向量的数量积命题角度1　平面向量数量积的运算【例2－1】(1)(2019·株洲质检)在RtΔABC中，点D为斜边BC的中点，

9、AB

10、=8，

11、AC

12、=6，则AD⋅AB=（）

13、A．48B．40C．32D．16(2)(2016·山东卷)已知非零向量m，n满足4

14、m

15、＝3

16、n

17、，cos〈m，n〉＝．若n⊥(tm＋n)，则实数t的值为（）A．4B．－4C．D．－解析　(1)因为点D为斜边BC的中点，所以AD=12(AB+AC)，所以AD⋅AB=12(AB+AC)⋅AB=12AB2+12AC⋅AB，又RtΔABC中AC⊥AB，所以AD⋅AB=12AB2=12

18、AB

19、2=32，故选C．(2)∵n⊥(tm＋n)，∴n·(tm＋n)＝0，即t·m·n＋n2＝0，∴t

20、m

21、

22、n

23、cos〈m，n〉＋

24、n

25、2＝0，由已知得t×

26、n

27、2×＋

28、n

29、2＝0，解得t＝

30、－4．答案　(1)C　(2)B探究提高　1．求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义．2．进行向量的数量积的运算，首先要有“基底”意识，关键用基向量表示题目中所求相关向量．其次注意向量夹角的大小，以及夹角θ＝0°，90°，180°三种特殊情形．3．求两向量的夹角：cosθ＝，要注意θ∈[0，π]．4．两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a⊥b⇔a·b＝0⇔

31、a－b

32、＝

33、a＋b

34、．5．求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：(1)a2＝a·a＝

35、a

36、2或

37、a

38、＝．(2)

39、a±b

40、＝＝．(3)若a＝(x，y)，则

41、

42、a

43、＝．【训练2】(1)(2015·福建卷)已知⊥，

44、

45、＝，

46、

47、＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值等于（）A．13B．15C．19D．21(2)(2019·新泰一中)已知向量a与b的夹角为120°，且a=b=2，那么b⋅2a-b的值为（）A．﹣8B．﹣6C．0D．4解析　(1)建立如图所示坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，则＝＋＝t＋(0，t)＝(1，4)．∴点P(1，4)，则·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，当且仅当4t＝，即t＝时取等号，故·的最大值为13．(2)向量a与b的夹角为120°，且a