浙江专用2019高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量学案

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1、第3讲　平面向量高考定位　1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算，多以熟知的平面图形为背景，难度中低档；2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积，多考查角、模等问题，难度中低档；3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.真题感悟1.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a，b满足

2、a

3、＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝(　　)A.4B.3C.2D.0解析　a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2－(－1)＝3，故选B.答案　B2.(2018·浙江卷)已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为，向量b满足

4、b2－4e·b＋3＝0，则

5、a－b

6、的最小值是(　　)A.－1B.＋1C.2D.2－解析　法一　设O为坐标原点，a＝，b＝＝(x，y)，e＝(1，0)，由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即(x－2)2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C(2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a与e的夹角为，所以不妨令点A在射线y＝x(x>0)上，如图，数形结合可知

7、a－b

8、min＝

9、

10、－

11、

12、＝－1.故选A.法二　由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝(b－e)·(b－3e)＝0.设b＝，e＝，3e＝，所以b－e＝，b－3e＝，所以·＝0，取EF的中点为C，则B在以

13、C为圆心，EF为直径的圆上，如图，设a＝，作射线OA，使得∠AOE＝，所以

14、a－b

15、＝

16、(a－2e)＋(2e－b)

17、≥

18、a－2e

19、－

20、2e－b

21、＝

22、

23、－

24、

25、≥－1.故选A.答案　A153.(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________.解析　·＝3×2×cos60°＝3，＝＋，则·＝·(λ－)＝·－2＋2＝×3－×32＋×22＝λ－5＝－4，解得λ＝.答案　4.(2016·浙江卷)已知向量a，b，

26、a

27、＝1，

28、b

29、＝2.若对任意单位向量e，均有

30、a·e

31、＋

32、b·e

33、≤，则a·b的最大值

34、是________.解析　法一　由已知可得：≥

35、a·e

36、＋

37、b·e

38、≥

39、a·e＋b·e

40、＝

41、(a＋b)·e

42、，由于上式对任意单位向量e都成立.∴≥

43、a＋b

44、成立.∴6≥(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝12＋22＋2a·b，即6≥5＋2a·b，∴a·b≤.法二　由题意，令e＝(1，0)，a＝(cosα，sinα)，b＝(2cosβ，2sinβ)，则由

45、a·e

46、＋

47、b·e

48、≤可得

49、cosα

50、＋2

51、cosβ

52、≤　①.令sinα＋2sinβ＝m　②，①2＋②2得4(

53、cosαcosβ

54、＋sinαsinβ)≤1＋m2对一切实数α，β恒成立，所以4(

55、cosαcosβ

56、＋sin

57、αsinβ)≤1.故a·b＝2(cosαcosβ＋sinαsinβ)≤2(

58、cosαcosβ

59、＋sinαsinβ)≤.答案　考点整合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥ba＝λbx1y2－x2y1＝0.(2)a⊥ba·b＝0

60、x1x2＋y1y2＝0.153.平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则

61、a

62、＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

63、AB

64、＝.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是＝(＋).(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心＋＋＝0G热点一　平面向量的有关运算[考法1]　平面向量的线性运算【例1－1】

65、(1)(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝(　　)A.－B.－C.＋D.＋(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，则λ的值为________.解析　(1)法一　如图所示，＝＋＝＋＝×(＋)＋(－)＝－，故选A.法二　＝－＝－＝－×(＋)＝－，故选A.15(2)法一　如图，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＋，所以·＝·＝·＋2＋2＝×2×2×cos120°＋＋＝1，解得λ＝2.法二　建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A(0，1