浙江专用2019高考数学二轮复习专题一三角函数与平面向量第3讲平面向量学案

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1、第3讲 平面向量高考定位 1.以选择题、填空题的形式考查向量的线性运算,多以熟知的平面图形为背景,难度中低档;2.以选择题、填空题的形式考查平面向量的数量积,多考查角、模等问题,难度中低档;3.向量作为工具常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合,以解答题形式出现.真题感悟1.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足

2、a

3、=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=(  )A.4B.3C.2D.0解析 a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3,故选B.答案 B2.(2018·浙江卷)已知a,b,e是平面向量,e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为,向量b满足

4、b2-4e·b+3=0,则

5、a-b

6、的最小值是(  )A.-1B.+1C.2D.2-解析 法一 设O为坐标原点,a=,b==(x,y),e=(1,0),由b2-4e·b+3=0得x2+y2-4x+3=0,即(x-2)2+y2=1,所以点B的轨迹是以C(2,0)为圆心,1为半径的圆.因为a与e的夹角为,所以不妨令点A在射线y=x(x>0)上,如图,数形结合可知

7、a-b

8、min=

9、

10、-

11、

12、=-1.故选A.法二 由b2-4e·b+3=0得b2-4e·b+3e2=(b-e)·(b-3e)=0.设b=,e=,3e=,所以b-e=,b-3e=,所以·=0,取EF的中点为C,则B在以

13、C为圆心,EF为直径的圆上,如图,设a=,作射线OA,使得∠AOE=,所以

14、a-b

15、=

16、(a-2e)+(2e-b)

17、≥

18、a-2e

19、-

20、2e-b

21、=

22、

23、-

24、

25、≥-1.故选A.答案 A153.(2017·天津卷)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2,若=2,=λ-(λ∈R),且·=-4,则λ的值为________.解析 ·=3×2×cos60°=3,=+,则·=·(λ-)=·-2+2=×3-×32+×22=λ-5=-4,解得λ=.答案 4.(2016·浙江卷)已知向量a,b,

26、a

27、=1,

28、b

29、=2.若对任意单位向量e,均有

30、a·e

31、+

32、b·e

33、≤,则a·b的最大值

34、是________.解析 法一 由已知可得:≥

35、a·e

36、+

37、b·e

38、≥

39、a·e+b·e

40、=

41、(a+b)·e

42、,由于上式对任意单位向量e都成立.∴≥

43、a+b

44、成立.∴6≥(a+b)2=a2+b2+2a·b=12+22+2a·b,即6≥5+2a·b,∴a·b≤.法二 由题意,令e=(1,0),a=(cosα,sinα),b=(2cosβ,2sinβ),则由

45、a·e

46、+

47、b·e

48、≤可得

49、cosα

50、+2

51、cosβ

52、≤ ①.令sinα+2sinβ=m ②,①2+②2得4(

53、cosαcosβ

54、+sinαsinβ)≤1+m2对一切实数α,β恒成立,所以4(

55、cosαcosβ

56、+sin

57、αsinβ)≤1.故a·b=2(cosαcosβ+sinαsinβ)≤2(

58、cosαcosβ

59、+sinαsinβ)≤.答案 考点整合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理:向量a(a≠0)与b共线当且仅当存在唯一一个实数λ,使b=λa.(2)平面向量基本定理:如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中e1,e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则(1)a∥ba=λbx1y2-x2y1=0.(2)a⊥ba·b=0

60、x1x2+y1y2=0.153.平面向量的三个性质(1)若a=(x,y),则

61、a

62、==.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则

63、AB

64、=.(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cosθ==.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件:O为平面上一点,则A,B,P三点共线的充要条件是=λ1+λ2(其中λ1+λ2=1).(2)三角形中线向量公式:若P为△OAB的边AB的中点,则向量与向量,的关系是=(+).(3)三角形重心坐标的求法:G为△ABC的重心++=0G热点一 平面向量的有关运算[考法1] 平面向量的线性运算【例1-1】

65、(1)(2018·全国Ⅰ卷)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则=(  )A.-B.-C.+D.+(2)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BC=3BE,DC=λDF.若·=1,则λ的值为________.解析 (1)法一 如图所示,=+=+=×(+)+(-)=-,故选A.法二 =-=-=-×(+)=-,故选A.15(2)法一 如图,=+=+,=+=+=+,所以·=·=·+2+2=×2×2×cos120°++=1,解得λ=2.法二 建立如图所示平面直角坐标系.由题意知:A(0,1

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