（江苏专用）高考数学专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习文苏教版.docx

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1、第3讲　平面向量1．已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝________．[解析]由题意知a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以解得[答案]－2．(2019·江苏名校高三入学摸底)已知平面向量a，b是互相垂直的单位向量，且c·a＝c·b＝－1，则

2、a－2b＋3c

3、＝________．[解析]设a＝(1，0)，b＝(0，1)，c＝(x，y)，则c·a＝x＝－1，c·b＝y＝－1，所以c＝(－1，－1)，所以a－2b＋3c＝(－2，－5)，所以

4、a－2b＋3c

5、＝＝．[答案]3．(2019·南京、盐城高三模拟)如图，在△ABC中，AB＝AC＝3，cos∠B

6、AC＝，＝2，则·的值为________．[解析]由＝2，得＝(＋2)，又＝－，AB＝AC＝3，cos∠BAC＝，所以·＝(＋2)·(－)＝(－9＋3)＝－2．[答案]－24．已知

7、a

8、＝1，

9、b

10、＝6，a·(b－a)＝2，则向量a与b的夹角θ＝________．[解析]因为a·(b－a)＝a·b－a2＝2，所以a·b＝2＋a2＝3．所以cosθ＝＝＝．所以向量a与b的夹角为．[答案]5．(2019·无锡市高三模拟)已知平面向量α，β满足

11、β

12、＝1，且α与β－α的夹角为120°，则α的模的取值范围为________．[解析]法一：由

13、β

14、＝1，且α与β－α的夹角为120°，作向量＝α

15、，＝β－α，则＝β，在△OAB中，∠OAB＝180°－120°＝60°，OB＝1，则由正弦定理＝，得OA＝sin∠ABO∈，即0<

16、α

17、≤．法二：设

18、α

19、＝u，

20、β－α

21、＝v，由

22、β

23、2＝

24、α＋(β－α)

25、2＝α2＋2α·(β－α)＋(β－α)2，得v2－uv＋u2－1＝0，再由关于v的一元二次方程有解，得u2－4(u2－1)≥0，又u>0，故0

26、α

27、≤．[答案]6．(2019·高三第一次调研测试)在平面四边形ABCD中，AB＝1，DA＝DB，则·＝3，·＝2，则

28、＋2

29、的最小值为______．[解析]以AB所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则

30、A，B．设D(0，b)，C(m，n)，则·＝(1，0)·＝m＋＝3，解得m＝，·＝(3，n)·＝＋nb＝2，得nb＝．易得＋2＝(4，n＋2b)，则

31、＋2

32、＝≥＝2，当且仅当n＝2b时取等号，故

33、＋2

34、的最小值为2．[答案]27．(2019·南通市高三模拟)如图，在同一平面内，点A位于两平行直线m，n的同侧，且A到m，n的距离分别为1，3．点B，C分别在m，n上，

35、＋

36、＝5，则·的最大值是________．[解析]以直线n为x轴，过点A且垂直于n的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系xOy，则A(0，3)，设C(c，0)，B(b，2)，则＝(b，－1)，＝(c，－3)，从而(b＋

37、c)2＋(－4)2＝52，即(b＋c)2＝9，又·＝bc＋3≤＋3＝，当且仅当b＝c时取等号．[答案]8．(2019·南京高三模拟)在凸四边形ABCD中，BD＝2，且·＝0，(＋)·(＋)＝5，则四边形ABCD的面积为________．[解析](＋)·(＋)＝(－＋)·(－＋)＝(＋)·(－)＝－＝5，即AC2－BD2＝5．因为BD＝2，所以AC＝3，所以四边形ABCD的面积为AC×BD＝×2×3＝3．[答案]39．(2019·江苏省高考名校联考信息卷(一))如图，点A，B，C在半径为5的圆O上，E是OA的中点，AB＝8，AC＝6，＝x＋y(x，y是实数)，则的值是______．[解

38、析]连结BC，根据题意，可知AB2＋AC2＝102，又圆O的半径为5，则直径是10，所以BC恰好是圆O的直径，所以AB⊥AC．＝(＋)＝＋＝＋(＋)＝－，此时x＝，y＝－，x－y＝－(－)＝1．又＝(＋)，·＝(－)·(＋)＝(2－2)＝－，故＝－．[答案]－10．(2019·苏锡常镇四市高三调研)在平面直角坐标系xOy中，设点A(1，0)，B(0，1)，C(a，b)，D(c，d)，若不等式2≥(m－2)·＋m(·)·(·)对任意实数a，b，c，d都成立，则实数m的最大值是________．[解析]原不等式可化为(a－c)2＋(b－d)2≥(m－2)·(ac＋bd)＋mbc，即a2＋

39、b2＋c2＋d2－m(ac＋bd＋bc)≥0，整理成关于实数a的不等式为a2－mca＋b2＋c2＋d2－mbd－mbc≥0，此式恒成立，从而Δ1＝m2c2－4(b2＋c2＋d2－mbd－mbc)≤0，再整理成关于实数d的不等式为d2－mbd＋b2＋c2－mbc－m2c2≥0，从而Δ2＝m2b2－4≤0，再整理成关于实数b的不等式为(4－m2)b2－4mcb＋4c2－m2c2≥0，从而，解得1－≤m≤－1＋，所以m的最大值是－1．[答案]－111．(2019