浙江专用2019高考数学二轮复习专题一三角函数解三角形与平面向量第3讲平面向量学案

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1、第3讲　平面向量[考情考向分析]　1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，且为基础题.2.考查平面向量数量积及模的最值问题，以选择题、填空题为主，难度为中高档，是高考考查的热点内容.3.向量作为工具，还常与解三角形、不等式、解析几何等结合，进行综合考查．热点一　平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量的终点所得的向量；在用

2、三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．例1　(1)如图，在△ABC中，AB＝3DB，AE＝2EC，CD与BE交于点F.设＝a，＝b，＝xa＋yb，则(x，y)为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　由D，F，C三点共线，可得存在实数λ，使得＝λ，即－＝λ(－)，则＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)＋λ＝(1－λ)a＋λb.由E，F，B三点共线，可得存在实数μ，使得＝μ，即－＝μ(－)，则＝μ＋(1－μ)＝μ＋(1－μ)＝μa＋(1－μ)b.又a，b不共线，由平面向量基本定理可得解得所以＝a＋b.所以x＝

3、，y＝，即(x，y)＝，故选A.(2)已知A(－1,0)，B(1,0)，C(0,1)，过点P(m,0)的直线分别与线段AC，BC交于点M，N(点M，N不同于点A，B，C)，且＝x＋y(x，y∈R)，若2≤

4、m

5、≤3，则x＋y的取值范围是____________．答案　∪解析　设＝λ，则有

6、λ

7、＝＝

8、m

9、.∵M，N，P三点共线，且点O不在直线MN上，∴＝n＋(1－n).从而有n＋(1－n)＝λx＋λy，又与是不共线向量，∴得x＋y＝.由2≤

10、λ

11、≤3，得x＋y的取值范围是∪.思维升华　(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组

12、基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1　(1)在△ABC中，＝，P是直线BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)A．－4B．－1C．1D．4答案　B解析　因为＝＋＝＋k＝＋k＝(1－k)＋，且＝m＋，又，不共线，所以解得k＝2，m＝－1，故选B.(2)如图，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，M，N分别为线段BC，CD上的点，且满足＋＝1，若＝x＋y，则x＋y的最小值为________．答案　解析　连接MN交AC于点G.由勾股定理知，MN2＝CM2＋

13、CN2，所以1＝＋＝，即MN＝CM·CN，所以C到直线MN的距离为定值1，此时MN是以C为圆心，1为半径的圆的一条切线(如图所示).＝x＋y＝(x＋y)·.由向量共线定理知，＝(x＋y)，所以x＋y＝＝，又因为

14、

15、max＝5－1＝4，所以x＋y的最小值为.热点二　平面向量的数量积1．数量积的定义：a·b＝

16、a

17、

18、b

19、cosθ.2．三个结论(1)若a＝(x，y)，则

20、a

21、＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

22、

23、＝.(3)若非零向量a＝(x1，y1)，非零向量b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.

24、例2　(1)已知在直角梯形ABCD中，AB＝AD＝2CD＝2，∠ADC＝90°，若点M在线段AC上，则

25、＋

26、的取值范围为________．答案　解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，设＝λ(0≤λ≤1)，则M(λ，2λ)，故＝(－λ，2－2λ)，＝(2－λ，－2λ)，则＋＝(2－2λ，2－4λ)，∴

27、＋

28、＝＝，当λ＝0时，

29、＋

30、取得最大值2，当λ＝时，

31、＋

32、取得最小值，∴

33、＋

34、∈.(2)已知⊥，

35、

36、＝，

37、

38、＝t，若点P是△ABC所在平面内的一点，且＝＋，则·的最大值为_

39、_______．答案　13解析　建立如图所示的平面直角坐标系，则B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，＝＋＝t＋(0，t)＝(1,4)，∴P(1,4)，·＝·(－1，t－4)＝17－≤17－2＝13，当且仅当t＝时“＝”成立．思维升华　(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2　(1)如图，在平面直角坐标系中，正方形OABC的边长为1，E为AB的中点，若F为正方形内(含边界)任意一点，则·的最大值为__

40、______．答案　解析　∵E为AB的中点，正方形OABC的边长为1，∴E，得＝，又F为正方形内(含边界)任意一点，设F(x，y)，∴＝(x，y)，满足则·＝x＋y，结合线性规划知识可知，当F点运动到点B(1,1)处时，·取得最大值.(2)已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD＝90