2018届高考数学(理)二轮复习讲学案:考前专题3 三角函数、解三角形与平面向量 第3讲 平面向量

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1、第3讲 平面向量1.考查平面向量的基本定理及基本运算,多以熟知的平面图形为背景进行考查,多为选择题、填空题,难度为中低档.2.考查平面向量的数量积,以选择题、填空题为主,难度为低档;向量作为工具,还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合,以解答题形式出现.热点一 平面向量的线性运算1.在平面向量的化简或运算中,要根据平面向量基本定理选好基底,变形要有方向不能盲目转化.2.在用三角形加法法则时,要保证“首尾相接”,结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量;在用三角形减法法则时,要保证“同起点”,结

2、果向量的方向是指向被减向量.例1 (1)(2017届河南息县第一高级中学检测)已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC,BD,且=2,点F是BD上靠近D的四等分点,则(  )A.=--B.=-C.=-D.=--答案 C解析 =2,点F是BD上靠近D的四等分点,∴=,=,∴=+=+,∵+=,-=,∴=(-)+(+)=-.故选C.(2)(2017届湖南师大附中月考)O为△ABC内一点,且2++=0,=t,若B,O,D三点共线,则t的值为(  )A.B.C.D.答案 A解析 由=t,得-=t(-),所以=t+(1-t),因

3、为B,O,D三点共线,所以=λ,则2+=λt+(1-t)λ,故有t=,故选A.思维升华 (1)对于平面向量的线性运算,要先选择一组基底,同时注意平面向量基本定理的灵活运用.(2)运算过程中重视数形结合,结合图形分析向量间的关系.跟踪演练1 (1)(2017·河北省衡水中学三调)在△ABC中,=,P是直线BN上的一点,若=m+,则实数m的值为(  )A.-4B.-1C.1D.4答案 B解析 因为=+=+k=+k=(1-k)+,且=m+,所以解得k=2,m=-1,故选B.(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量

4、a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,则2a+3b等于(  )A.(-5,-10)B.(-4,-8)C.(-3,-6)D.(-2,-4)答案 B解析 因为a=(1,2),b=(-2,m),且a∥b,所以m+4=0,m=-4,2a+3b=2(1,2)+3(-2,-4)=(-4,-8),故选B.热点二 平面向量的数量积1.数量积的定义:a·b=

5、a

6、

7、b

8、cosθ.2.三个结论(1)若a=(x,y),则

9、a

10、==.(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则

11、

12、=.(3)若非零向量a=(x1,y1),非零向量b=

13、(x2,y2),θ为a与b的夹角,则cosθ==.例2 (1)(2017届湖北省部分重点中学联考)若等边△ABC的边长为3,平面内一点M满足=+,则·的值为(  )A.2B.-C.D.-2答案 A解析 因为=-,=-,则·=,即·=2-·+2=2-+=2,故选A.(2)(2017届河北省衡水中学六调)已知向量a,b满足

14、a

15、=1,

16、b

17、=2,a-b=(,),则

18、a+2b

19、等于(  )A.2B.C.D.2答案 B解析 向量a,b满足

20、a

21、=1,

22、b

23、=2,a-b=(,),可得

24、a-b

25、2=5,即

26、a

27、2+

28、b

29、2-2a

30、·b=5,解得a·b=0.

31、a+2b

32、2=

33、a

34、2+4

35、b

36、2+4a·b=1+16=17,所以

37、a+2b

38、=.故选B.思维升华 (1)数量积的计算通常有三种方法:数量积的定义,坐标运算,数量积的几何意义.(2)可以利用数量积求向量的模和夹角,向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算.跟踪演练2 (1)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则·(+)的最小值是(  )A.-2B.-C.-D.-1答案 B解析 方法一 (解析法)建立平面直角坐标系如图①所示,则A,B,C三点的坐标

39、分别为A(0,),B(-1,0),C(1,0).图①设P点的坐标为(x,y),则=(-x,-y),=(-1-x,-y),=(1-x,-y),∴·(+)=(-x,-y)·(-2x,-2y)=2(x2+y2-y)=2≥2×=-.当且仅当x=0,y=时,·(+)取得最小值,最小值为-.故选B.方法二 (几何法)如图②所示,+=2(D为BC的中点),则·(+)=2·.图②要使·最小,则与方向相反,即点P在线段AD上,则(2·)min=-2

40、

41、

42、

43、,问题转化为求

44、

45、·

46、

47、的最大值.又

48、

49、+

50、

51、=

52、

53、=2×=,∴

54、

55、

56、

57、≤2=2

58、=,当且仅当

59、

60、=

61、

62、时取等号,∴[·(+)]min=(2·)min=-2×=-.故选B.(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a,b满足

63、a

64、=2,

65、b

66、=1,a与b的夹角为,则

67、a+2b

68、=________.答案 2解析 因为

69、a

70、=2,

71、b

72、=1,〈a,b〉=,故a·b=2cos〈a,b〉=-1,则(a+2b)2=a2+4a·b+4

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