2018届高考数学（理）二轮复习讲学案：考前专题3 三角函数、解三角形与平面向量 第3讲 平面向量

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1、第3讲　平面向量1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档．2．考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．热点一　平面向量的线性运算1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结

2、果向量的方向是指向被减向量．例1　(1)(2017届河南息县第一高级中学检测)已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且＝2，点F是BD上靠近D的四等分点，则(　　)A.＝－－B.＝－C.＝－D.＝－－答案　C解析　＝2，点F是BD上靠近D的四等分点，∴＝，＝，∴＝＋＝＋，∵＋＝，－＝，∴＝(－)＋(＋)＝－.故选C.(2)(2017届湖南师大附中月考)O为△ABC内一点，且2＋＋＝0，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为(　　)A.B.C.D.答案　A解析　由＝t，得－＝t(－)，所以＝t＋(1－t)，因

3、为B，O，D三点共线，所以＝λ，则2＋＝λt＋(1－t)λ，故有t＝，故选A.思维升华　(1)对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．(2)运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．跟踪演练1　(1)(2017·河北省衡水中学三调)在△ABC中，＝，P是直线BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为(　　)A．－4B．－1C．1D．4答案　B解析　因为＝＋＝＋k＝＋k＝(1－k)＋，且＝m＋，所以解得k＝2，m＝－1，故选B.(2)(2017届福建连城县二中期中)已知平面向量

4、a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b等于(　　)A．(－5，－10)B．(－4，－8)C．(－3，－6)D．(－2，－4)答案　B解析　因为a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且a∥b，所以m＋4＝0，m＝－4,2a＋3b＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)，故选B.热点二　平面向量的数量积1．数量积的定义：a·b＝

5、a

6、

7、b

8、cosθ.2．三个结论(1)若a＝(x，y)，则

9、a

10、＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

11、

12、＝.(3)若非零向量a＝(x1，y1)，非零向量b＝

13、(x2，y2)，θ为a与b的夹角，则cosθ＝＝.例2　(1)(2017届湖北省部分重点中学联考)若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足＝＋，则·的值为(　　)A．2B．－C.D.－2答案　A解析　因为＝－，＝－，则·＝，即·＝2－·＋2＝2－＋＝2，故选A.(2)(2017届河北省衡水中学六调)已知向量a，b满足

14、a

15、＝1，

16、b

17、＝2，a－b＝(，)，则

18、a＋2b

19、等于(　　)A．2B.C.D．2答案　B解析　向量a，b满足

20、a

21、＝1，

22、b

23、＝2，a－b＝(，)，可得

24、a－b

25、2＝5，即

26、a

27、2＋

28、b

29、2－2a

30、·b＝5，解得a·b＝0.

31、a＋2b

32、2＝

33、a

34、2＋4

35、b

36、2＋4a·b＝1＋16＝17，所以

37、a＋2b

38、＝.故选B.思维升华　(1)数量积的计算通常有三种方法：数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．(2)可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．跟踪演练2　(1)(2017·全国Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·(＋)的最小值是(　　)A．－2B．－C．－D．－1答案　B解析　方法一　(解析法)建立平面直角坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标

39、分别为A(0,)，B(－1,0)，C(1,0)．图①设P点的坐标为(x，y)，则＝(－x，－y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，∴·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2(x2＋y2－y)＝2≥2×＝－.当且仅当x＝0，y＝时，·(＋)取得最小值，最小值为－.故选B.方法二　(几何法)如图②所示，＋＝2(D为BC的中点)，则·(＋)＝2·.图②要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则(2·)min＝－2

40、

41、

42、

43、，问题转化为求

44、

45、·

46、

47、的最大值．又

48、

49、＋

50、

51、＝

52、

53、＝2×＝，∴

54、

55、

56、

57、≤2＝2

58、＝，当且仅当

59、

60、＝

61、

62、时取等号，∴[·(＋)]min＝(2·)min＝－2×＝－.故选B.(2)(2017届湖北重点中学联考)已知向量a，b满足

63、a

64、＝2，

65、b

66、＝1，a与b的夹角为，则

67、a＋2b

68、＝________.答案　2解析　因为

69、a

70、＝2，

71、b

72、＝1，〈a，b〉＝，故a·b＝2cos〈a，b〉＝－1，则(a＋2b)2＝a2＋4a·b＋4