江苏专版高考数学复习三角函数与平面向量第3讲平面向量试题理

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1、第3讲　平面向量高考定位　平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为B级，只有平面向量的应用为A级要求，平面向量的数量积为C级要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；(2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现.真题感悟1.(2015·江苏卷)已知向量a＝(2，1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为________.解析　∵a＝(2，1)，b＝(1，－2)，∴ma＋nb＝(2m＋n，m－2

2、n)＝(9，－8)，即解得故m－n＝2－5＝－3.答案　－32.(2017·江苏卷)如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα＝7，与的夹角为45°.若＝m＋n(m，n∈R)，则m＋n＝________.解析　如图，设＝m，＝n，则在△ODC中有OD＝m，DC＝n，OC＝，∠OCD＝45°，由tanα＝7，得cosα＝，又由余弦定理知即14①＋②得4－2n－m＝0，即m＝10－5n，代入①得12n2－49n＋49＝0，解得n＝或n＝，当n＝时，m＝10－5×＝－<0(不合题意，舍去)，当n＝时，m＝10－5×＝，故m＋n＝＋＝3.答案　33.(

3、2016·江苏卷)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，·＝4，·＝－1，则·的值是________.解析　设＝a，＝b，则·＝(－a)·(－b)＝a·b＝4.又∵D为BC中点，E，F为AD的两个三等分点，则＝(＋)＝a＋b，＝＝a＋b，＝＝a＋b，＝＋＝－a＋a＋b＝－a＋b，＝＋＝－b＋a＋b＝a－b，则·＝·＝－a2－b2＋a·b＝－(a2＋b2)＋×4＝－1.可得a2＋b2＝.又＝＋＝－a＋a＋b＝－a＋b，＝＋＝－b＋a＋b＝a－b，则·＝·＝－(a2＋b2)＋a·b＝－×＋×4＝.14答案　4.(2017·江苏卷)已知向量a＝(cosx

4、，sinx)，b＝(3，－)，x∈[0，π].(1)若a∥b，求x的值；(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.解　(1)∵a∥b，∴3sinx＝－cosx，∴3sinx＋cosx＝0，即sin＝0.∵0≤x≤π，∴≤x＋≤π，∴x＋＝π，∴x＝.(2)f(x)＝a·b＝3cosx－sinx＝－2sin.∵x∈[0，π]，∴x－∈，∴－≤sin≤1，∴－2≤f(x)≤3，当x－＝－，即x＝0时，f(x)取得最大值3；当x－＝，即x＝时，f(x)取得最小值－2.考点整合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量a(a≠0)与b共线当且仅当存

5、在唯一实数λ，使b＝λa.(2)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2，其中e1，e2是一组基底.2.平面向量的两个充要条件若两个非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则(1)a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0.(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.3.平面向量的三个性质(1)若a＝(x，y)，则

6、a

7、＝＝.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则

8、

9、＝.(3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为a与b的夹角，14则cosθ＝＝

10、.4.平面向量的三个锦囊(1)向量共线的充要条件：O为平面上一点，则A，B，P三点共线的充要条件是＝λ1＋λ2(其中λ1＋λ2＝1).(2)三角形中线向量公式：若P为△OAB的边AB的中点，则向量与向量，的关系是＝(＋).(3)三角形重心坐标的求法：G为△ABC的重心⇔＋＋＝0⇔G.热点一　平面向量的有关运算[命题角度1]　平面向量的线性运算【例1－1】(1)(2017·天津卷)在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2，若＝2，＝λ－(λ∈R)，且·＝－4，则λ的值为________.(2)已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，B

11、C＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，则λ的值为________.解析　(1)·＝3×2×cos60°＝3，＝＋，则·＝·(λ－)＝·－2＋2＝×3－×32＋×22＝λ－5＝－4，解得λ＝.(2)法一　如图，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝＋，所以·＝·＝·＋2＋2＝×2×2×cos120°＋＋＝1，解得λ＝2.法二　建立如图所示平面直角坐标系.由题意知：A(0，1)，C(0，－1)，B(－，0)，14D(，0).由BC＝3BE，DC＝λDF，可求点E，F的坐标分别为E，F，∴·＝·＝－2＋＝1，解得λ＝2.答案　(