第十八讲平面向量的数量积及应用

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1、第十八讲平面向量的数量积及应用一、知识整合：1．向量的数量积（1）两个非零向量的夹角已知非零向量与，作＝，＝，则叫与的夹角；说明：当θ＝０时，与同向；当θ＝π时，与反向；当θ＝时，与垂直，记⊥；注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的，范围。（2）数量积的概念已知两个非零向量与，它们的夹角为，则叫做与的数量积（或内积）。规定；向量的投影：︱︱cos=∈R，称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影；（3）数量积的几何意义：等于的长度与在方向上的投影的乘积。（4）向量数量积的性质①向量的模与平方的关系：。②乘法公式成立；；③平面向量数量积的运算律交换律成立：；对实

2、数的结合律成立：；分配律成立：。④向量的夹角：cos==。当且仅当两个非零向量与同方向时，θ=00，当且仅当与反方向时θ=1800，同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。（5）两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量，则·=。（6）垂直：如果与的夹角为900则称与垂直，记作⊥。两个非零向量垂直的充要条件：⊥·＝O（7）平面内两点间的距离公式设，则或。如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么(平面内两点间的距离公式)。2．向量的应用（1）向量在几何中的应用；（2）向量在物理中的应用。二．典例精析题型1：数量积的概念例1．判断下列各命题正确与否：（1）；

3、（2）；（3）若，则；（4）若，则当且仅当时成立；（5）对任意向量都成立；（6）对任意向量，有。例2．设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①（·）－（·）=②

4、

5、－

6、

7、<

8、－

9、③（·）－（·）不与垂直④（3+2）（3－2）=9

10、

11、2－4

12、

13、2中，是真命题的有题型2：向量的夹角例3．=1，=2，=+，且⊥，则向量与的夹角为例4.已知且关于的方程有实根,则与的夹角的取值范围是题型3：向量的模例5．已知＝（3，4），＝（4，3），求x,y的值使(x+y)⊥，且｜x+y｜=1。题型4：向量数量积在处理夹角及长度问题上的应用例6．已知，其中。（1）求证：与互相垂直；（2

14、）若与（）的长度相等，求。题型5：向量与函数、三角函数、数列解析几何相结合的问题例7.已知，存在实数，使得，且，若不等式恒成立，求的取值范围。例8、已知点，，O为坐标原点。（1）若时，不等式有解，求实数的取值范围；（2）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的取值范围。例9、设,是平面直角坐标系内轴、轴正方向上的单位向量，若向量，，且。（1）求点的轨迹方程C；（1）过点作直线与曲线C交于A,B两点，设,是否存在这样的直线，使得四边形OAPB为矩形？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由。三．重点题型强化1、若向量与不共线，，且，则与的夹角的大小为2、设向量满足，且，则

15、3、在边长为1的等边三角形中，设，则4、已知向量与的夹角为，且，若向量与垂直，则5、设向量，且。求（1）及，（2）若的最小值是，求实数的值。6、已知是的三个内角，向量，且，（1）求角A；（2）若。求。7、已知锐角三角形ABC中，内角的对边分别为，，且。（1）求角B的大小；（2）若，求AC边上的高的最大值。8、已知向量，向量与的夹角为，且。（1）求向量；（2）若向量与向量垂直，向量,其中角A,B,C是的内角，且角A,B,C依次成等差数列，求的取值范围。9、设椭圆方程为，过点的直线交椭圆于点A,B，点O是坐标原点，点P满足,点的坐标为，当绕点M旋转时，求:（1）动点P的轨

16、迹方程；（2）的最值。