资源描述:
《第26讲平面向量的数量积及应用19200》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第二十六讲平面向量的数量积及应用一、复习目标要求1.平面向量的数量积①通过物理中"功"等实例,理解平面向量数量积的含义及其物理意义;②体会平面向量的数量积与向量投影的关系;③掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算;④能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系。2.向量的应用经历用向量方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题的过程,体会向量是一种处理几何问题、物理问题等的工具,发展运算能力和解决实际问题的能力。二、2010年命题预测本讲以选择题、填空题
2、考察本章的基本概念和性质,重点考察平面向量的数量积的概念及应用。重点体会向量为代数几何的结合体,此类题难度不大,分值5~9分。平面向量的综合问题是“新热点”题型,其形式为与直线、圆锥曲线、三角函数等联系,解决角度、垂直、共线等问题,以解答题为主。预测2010年高考:(1)一道选择题和填空题,重点考察平行、垂直关系的判定或夹角、长度问题;属于中档题目。(2)一道解答题,可能以三角、数列、解析几何为载体,考察向量的运算和性质;三、知识精点讲解1.向量的数量积(1)两个非零向量的夹角已知非零向量A与A,作=,=
3、,则∠AOA=Θ(0≤Θ≤Π)叫与的夹角;说明:(1)当Θ=0时,与同向;(2)当Θ=Π时,与反向;(3)当Θ=时,与垂直,记⊥;(4)注意在两向量的夹角定义,两向量必须是同起点的,范围0°≤q≤180°。C(2)数量积的概念已知两个非零向量与,它们的夹角为,则·=︱︱·︱︱COS叫做与的数量积(或内积)。规定;向量的投影:︱︱COS=∈R,称为向量在方向上的投影。投影的绝对值称为射影;(3)数量积的几何意义:·等于的长度与在方向上的投影的乘积。(4)向量数量积的性质①向量的模与平方的关系:。②乘法公式成
4、立;;③平面向量数量积的运算律交换律成立:;对实数的结合律成立:;分配律成立:。④向量的夹角:COS==。当且仅当两个非零向量与同方向时,Θ=00,当且仅当与反方向时Θ=1800,同时与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题。(5)两个向量的数量积的坐标运算已知两个向量,则·=。(6)垂直:如果与的夹角为900则称与垂直,记作⊥。两个非零向量垂直的充要条件:⊥·=O,平面向量数量积的性质。(7)平面内两点间的距离公式设,则或。如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、,那么(平面内两点间的距离公式)。
5、2.向量的应用(1)向量在几何中的应用;(2)向量在物理中的应用。四.典例解析题型1:数量积的概念例1.判断下列各命题正确与否:(1);(2);(3)若,则;(4)若,则当且仅当时成立;(5)对任意向量都成立;(6)对任意向量,有。解析:(1)错;(2)对;(3)错;(4)错;(5)错;(6)对。点评:通过该题我们清楚了向量的数乘与数量积之间的区别于联系,重点清楚为零向量,而为零。例2.(1)(2002上海春,13)若、、为任意向量,M∈R,则下列等式不一定成立的是()A.B.C.M()=M+MD.(2)
6、(2000江西、山西、天津理,4)设、、是任意的非零平面向量,且相互不共线,则①(·)-(·)=②
7、
8、-
9、
10、<
11、-
12、③(·)-(·)不与垂直④(3+2)(3-2)=9
13、
14、2-4
15、
16、2中,是真命题的有()A.①②B.②③C.③④D.②④解析:(1)答案:D;因为,而;而方向与方向不一定同向。(2)答案:D①平面向量的数量积不满足结合律。故①假;②由向量的减法运算可知
17、
18、、
19、
20、、
21、-
22、恰为一个三角形的三条边长,由“两边之差小于第三边”,故②真;③因为[(·)-(·)]·=(·)·-(·)·=0,所以垂直.故③
23、假;④(3+2)(3-2)=9··-4·=9
24、
25、2-4
26、
27、2成立。故④真。点评:本题考查平面向量的数量积及运算律,向量的数量积运算不满足结合律。题型2:向量的夹角例3.(1)(06全国1文,1)已知向量、满足、,且,则与的夹角为()A.B.C.D.(2)(06北京文,12)已知向量=(COS,SIN),=(COS,SIN),且,那么与的夹角的大小是。(3)已知两单位向量与的夹角为,若,试求与的夹角。(4)(2005北京3)
28、
29、=1,
30、
31、=2,=+,且⊥,则向量与的夹角为()A.30°B.60°C.120°
32、D.150°解析:(1)C;(2);(3)由题意,,且与的夹角为,所以,,,,同理可得。而,设为与的夹角,则。(4)C;设所求两向量的夹角为 即:所以点评:解决向量的夹角问题时要借助于公式,要掌握向量坐标形式的运算。向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑。对于这个公式的变形应用应该做到熟练,另外向量垂直(平行)的充要条件必需掌握。例4.(1)(06全国1理,9)设平面向量、、的和。如果向量、、,满足,且顺时针旋转后与