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1、第3讲平面向量的数量积及平面向量应用举例1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．(课本P107①由力做功的计算理解数量积的物理意义；课本P108②两个向量的夹角及范围；区分向量a在向量b方向上的正射影的数量与向量b在向量a
2、方向上的正射影的数量。③向量数量积定义)3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．（课本P110①注意数量积运算律不满足结合律即（a·b）·c=a·（b·c）（×）课本P112②向量数量积有关的坐标运算公式③看一下例1例2例3例4）完成《三维设计》的理要点与究疑点（以上内容的复习必须在20分钟内完成）5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．平面向量的数量积向量数量积(内积)的坐标运算a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)①a·b
3、＝；②a⊥b⇔；③
4、a
5、＝，
6、b
7、＝；④设A(x1，y1)，B(x2，y2)．则＝，
8、
9、＝.a1b1＋a2b2a1b1＋a2b2＝0(x2－x1，y2－y1)[思考探究1]在△ABC中，设＝a，＝b，则a与b的夹角为∠ABC吗？提示：不是.求两向量的夹角时，两向量的起点应相同，向量a与b的夹角为π－∠ABC.[思考探究2]若a∥b，则a与b的数量积有何特点？提示：若a∥b，则a与b的夹角为0°或180°，∴a·b＝
10、a
11、
12、b
13、或a·b＝－
14、a
15、
16、b
17、.[思考探究3]向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的？答案：当a，b为非零向量时，a·b的符号由夹角的余弦来确定；当
18、0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当a与b至少有一个为零向量或θ＝90°时，a·b＝0.联动体验1．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b上的投影为()解析：设a和b的夹角为θ，
19、a
20、cosθ＝
21、a
22、＝答案：C2．(2010·新课标全国卷)a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()解析：设b＝(x，y)，则有2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，解得b＝(－5,12)，故cos〈a，b〉＝答案：C3．设向量a和b的长度分别为4和3，夹角为60°，则
23、a＋b
24、的值为()解析：
25、
26、a＋b
27、2＝a2＋2a·b＋
28、b
29、2＝a2＋2
30、a
31、
32、b
33、cos60°＋
34、b
35、2＝16＋2×4×3×＋9＝37∴
36、a＋b
37、＝.答案：C4．向量m＝(x－5,1)，n＝(4，x)，m⊥n，则x等于()A．1B．2C．3D．4解析：由m·n＝0，得4(x－5)＋x＝0，∴x＝4.答案：D5．已知向量a和向量b的夹角为30°，
38、a
39、＝2，
40、b
41、＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.答案：3【例1】(1)在直角三角形ABC中，C＝90°，AB＝5，AC＝4，求；(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，试求(a－2b)·(2a＋3b)．解：(1)在△ABC中，C＝
42、90°，AB＝5，AC＝4，故BC＝3，且cos∠ABC＝，的夹角θ＝π－∠ABC，cos∠ABC＝－5×3×＝－9.(2)方法一：a－2b＝(3，－4)－2(2,1)＝(－1，－6)，2a＋3b＝2(3，－4)＋3(2,1)＝(12，－5)，(a－2b)·(2a＋3b)＝(－1)×12＋(－6)×(－5)＝18.方法二：(a－2b)·(2a＋3b)＝2a2－a·b－6b2＝2[32＋(－4)2]－[3×2＋(－4)×1]－6(22＋12)＝18.考向一 平面向量的数量积的运算反思感悟：善于总结，养成习惯平面向量的数量积的运算有两种形式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来
43、计算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择．迁移发散1．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)．若＝－1，求sin2α的值．解：＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，＝cosα(cosα－3)＋sinα(sinα－3)＝1－3(cosα＋sinα)＝－1.∴sinα＋cosα＝，两边平方得sin2α＝－.考向二 利用平面向量的数量积解决垂直问题【例2】已知向量a＝(1,2)，b＝(－2,1)，k，t为正实数，向量x＝a＋(t2＋1)b，y＝－ka＋b，且x⊥y，求k的最小值．解：∵a＝
