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《平面向量的数量积及平面向量应用举例(IV)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第3讲平面向量的数量积及平面向量应用举例1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．1．两个向量的夹角：已知两个非零向量a和b(如图)，作＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．其中两个向量夹角范围是．特别地，θ＝时，a与b同向；θ＝时，
2、a与b反向.如果a与b的夹角是，我们说a与b垂直，记作a⊥b.2．向量数量积的概念(1)向量的数量积：．(2)向量的投影：
3、b
4、cos〈a，b〉即叫做b在a的方向上的．(3)数量积的几何意义：两向量的数量积等于其中一个向量的长度与另一个向量在这个向量方向上的投影的乘积．[0，π]0π投影a·b＝
5、a
6、
7、b
8、cos〈a，b〉3．向量数量积的性质：设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝
9、a
10、cosθ.(2)a⊥b⇔.(3)当a与b同向时，a·b＝
11、a
12、·
13、b
14、
15、；当a与b反向时，a·b＝－
16、a
17、·
18、b
19、，特殊的，a·a＝
20、a2
21、或者(4)cosθ＝(0°≤θ≤180°)．(5)
22、a·b
23、≤
24、a
25、·
26、b
27、.(6)a·b＝04．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．注意：数量积运算不满足(a·b)·c＝a·(b·c)，因为左边表示与c共线的向量，右边表示与a共线的向量，而c与a不一定共线．5．设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹
28、角为θ，则a·b＝特别地，a2＝a·a＝x＋y.a⊥b⇔，a∥b⇔，x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0.x1y2－x2y1＝0.6．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝a，则(平面内两点间的距离公式)．联动思考想一想：向量的数量积是一个数量，它的符号是怎样确定的？答案：当a，b为非零向量时，a·b的符号由夹角的余弦来确定；当0°≤θ<90°时，a·b>0；当90°<θ≤180°时，a·b<0；当a与b至少有一个为零向量或θ＝90°时，a·b＝0.联动体验1．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)
29、，则a在b上的投影为()解析：设a和b的夹角为θ，
30、a
31、cosθ＝
32、a
33、＝答案：C2．(2010·新课标全国卷)a，b为平面向量，已知a＝(4,3)，2a＋b＝(3,18)，则a，b夹角的余弦值等于()解析：设b＝(x，y)，则有2a＋b＝(8＋x,6＋y)＝(3,18)，解得b＝(－5,12)，故cos〈a，b〉＝答案：C3．设向量a和b的长度分别为4和3，夹角为60°，则
34、a＋b
35、的值为()解析：
36、a＋b
37、2＝a2＋2a·b＋
38、b
39、2＝a2＋2
40、a
41、
42、b
43、cos60°＋
44、b
45、2＝16＋2×4×3×＋
46、9＝37∴
47、a＋b
48、＝.答案：C4．向量m＝(x－5,1)，n＝(4，x)，m⊥n，则x等于()A．1B．2C．3D．4解析：由m·n＝0，得4(x－5)＋x＝0，∴x＝4.答案：D5．已知向量a和向量b的夹角为30°，
49、a
50、＝2，
51、b
52、＝，则向量a和向量b的数量积a·b＝________.答案：3【例1】(1)在直角三角形ABC中，C＝90°，AB＝5，AC＝4，求；(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，试求(a－2b)·(2a＋3b)．解：(1)在△ABC中，C＝90°，AB＝5，AC＝4，故B
53、C＝3，且cos∠ABC＝，的夹角θ＝π－∠ABC，cos∠ABC＝－5×3×＝－9.(2)方法一：a－2b＝(3，－4)－2(2,1)＝(－1，－6)，2a＋3b＝2(3，－4)＋3(2,1)＝(12，－5)，(a－2b)·(2a＋3b)＝(－1)×12＋(－6)×(－5)＝18.方法二：(a－2b)·(2a＋3b)＝2a2－a·b－6b2＝2[32＋(－4)2]－[3×2＋(－4)×1]－6(22＋12)＝18.考向一 平面向量的数量积的运算反思感悟：善于总结，养成习惯平面向量的数量积的运算有两种形
54、式，一是依据长度与夹角，二是利用坐标来计算，具体应用哪种形式由已知条件的特征来选择．迁移发散1．已知A(3,0)，B(0,3)，C(cosα，sinα)．若＝－1，求sin2α的值．解：＝(cosα－3，sinα)，＝(cosα，sinα－3)，＝cosα(cosα－3)＋sinα(sinα－3)＝1－3(cosα＋sinα)＝－1.∴sinα＋cosα＝，两边平方得sin2α＝－.考向二 利用平面向量的数量积解决垂直问题【例2】已知向量a
