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《平面向量的数量积及平面向量应用举例(II)》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．5．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．6．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题．平面向量的数量积及平面向量应用举例θ2．范围向量夹角θ的范围是，a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝.0°≤θ≤180°3．向量垂直如果向量a与b的夹角是，则a与b垂直，记作.90°a⊥b180°二、平面向
2、量数量积1．a，b是两个非零向量，它们的夹角为θ，则数
3、a
4、
5、b
6、·cosθ叫做a与b的数量积，记作a·b，即a·b＝.规定0·a＝0.当a⊥b时，θ＝90°，这时a·b＝.2．a·b的几何意义a·b等于a的长度
7、a
8、与b在a的方向上的投影的乘积．
9、a
10、
11、b
12、·cosθ0
13、b
14、cosθ三、向量数量积的性质1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a＝．5．
15、a·b
16、
17、a
18、
19、b
20、.4．cos〈a，b〉＝.3．a·a＝，
21、a
22、＝.2．a⊥b⇒且a·b＝0⇒.
23、a
24、cos〈a，e〉a·b＝0a⊥b
25、a
26、2≤四、数量积的运算律1．交换律a·
27、b＝.3．对λ∈R，λ(a·b)＝＝．2．分配律(a＋b)·c＝.b·aa·c＋b·c(λa)·ba·(λb)五、数量积的坐标运算设a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，则1．a·b＝.a1b1＋a2b22．a⊥b⇔.3．
28、a
29、＝.4．cos〈a，b〉＝.a1b1＋a2b2＝0[究疑点]1．b在a上的投影是向量吗？提示：不是，b在a上的投影是一个数量
30、b
31、cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0.2．根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立．①a·b＝a·c，则b＝c吗？②(a·b)·c＝a·(b·c)吗？提示：①不一定．
32、a＝0时不成立，另外a≠0时，a·b＝a·c.由数量积概念可知b与c不能确定；②(a·b)c＝a(b·c)不一定相等．(a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等．[题组自测]1．已知下列结论：①
33、a
34、2＝a2；②(a·b)2＝a2·b2；③(a－b)2＝a2－2a·b＋b2；④若a2＝a·b，则a＝b，其中正确的个数有()A．1B．2C．3D．4答案：B答案：C3．已知a＝(1，－3)，b＝(4,6)，c＝(2,3)，则a(b·c)等于()A．(26，－78)B．(－28，－42
35、)C．－52D．－78解析：a(b·c)＝(1，－3)×(4×2＋6×3)＝(26，－78)．答案：A4．(1)在直角三角形ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，求·；(2)若a＝(3，－4)，b＝(2,1)，试求(a－2b)·(2a＋3b)．[归纳领悟](1)解决与夹角有关问题时一定要注意两向量是否共起点，否则会造成失误．(2)向量的数量积的运算律类似于多项式乘法法则，但并不是所有乘法法则都可以推广到向量数量积的运算，如(a·b)c≠a(b·c).答案：60°2．已知
36、a
37、＝5，
38、b
39、＝4，且a与b的夹角为60°，则当
40、向量ka－b与a＋2b垂直时，k＝________.[归纳领悟]1．求两非零向量的夹角时要注意：(1)向量的数量积不满足结合律；(2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不能共线时两向量的夹角就是钝角．2．当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角，需求得a·b及
41、a
42、，
43、b
44、或得出它们的关系.答案：B解析：∵
45、2a－b
46、2＝4a2－4a·b＋b2＝8－4
47、a
48、
49、b
50、cos〈a，b〉＝8－8cos〈a，b〉，∵〈a，b〉∈[0，π]，∴cos〈a，b〉∈[－1,1]，
51、∴8－8cos〈a，b〉∈[0,16]，即
52、2a－b
53、2∈[0,16]，∴
54、2a－b
55、∈[0,4]．答案：A3．已知
56、a
57、＝4，
58、b
59、＝8，a与b的夹角是120°.(1)计算：①
60、a＋b
61、，②
62、4a－2b
63、；(2)当k为何值时，(a＋2b)⊥(ka－b)?已知向量a＝(－3,2)，b＝(2,1)，c＝(3，－1)，t∈R.(1)求
64、a＋tb
65、的最小值及相应的t值；(2)若a－tb与c共线，求实数t.答案：A2．在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25km/h.渡船要垂直地渡过长江，则航向为____
66、__________．答案：北偏西30°[归纳领悟]向量与其它知识结合，题目新颖而精巧，既符合考查知识的“交汇处”的命题要求，又加强了对双基覆盖面的考查，特别是通过向量坐标表示的运算，利用解决平行、垂直、成角和距离等问题的同时，把问题转化为新的函数、三角或几何问题．一、把脉考
