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《第十五讲平面向量的数量积》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第十五讲 平面向量的数量积基础梳理1．两个向量的夹角已知两个非零向量a和b(如图)，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角，当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向；如果a与b的夹角是90°，我们说a与b垂直，记作a⊥b.2．两个向量的数量积的定义已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量
2、a
3、
4、b
5、cosθ叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝
6、a
7、
8、b
9、cosθ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0.3．向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度
10、a
11、与b在a的方向上的投影
12、b
13、cosθ
14、的数量积．4．向量数量积的性质设a、b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝
15、a
16、cosθ；(2)a⊥b⇔a·b＝0；(3)当a与b同向时，a·b＝
17、a
18、·
19、b
20、；当a与b反向时，a·b＝－
21、a
22、
23、b
24、，特别的，a·a＝
25、a
26、2或者
27、a
28、＝；(4)cosθ＝；(5)
29、a·b
30、≤
31、a
32、
33、b
34、.5．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a；(2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.6．平面向量数量积的坐标运算设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，向量a与b的夹角为θ，则(1)a·b＝x
35、1x2＋y1y2；(2)
36、a
37、＝；(3)cos〈a，b〉＝；(4)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.7．若A(x1，y1)，B(x2，y2)，＝a，则
38、a
39、＝(平面内两点间的距离公式)．一个条件两个向量垂直的充要条件：a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.两个探究(1)若a·b＞0，能否说明a和b的夹角为锐角？(2)若a·b＜0，能否说明a和b的夹角为钝角？三个防范(1)若a，b，c是实数，则ab＝ac⇒b＝c(a≠0)；但对于向量就没有这样的性质，即若向量a，b，c若满足a·b＝a·c(a≠0)，则不一定有b＝c，即等式两边不能同时约去一个向量，但可以同时乘以
40、一个向量．(2)数量积运算不适合结合律，即(a·b)c≠a(b·c)，这是由于(a·b)c表示一个与c共线的向量，a(b·c)表示一个与a共线的向量，而a与c不一定共线，因此(a·b)c与a(b·c)不一定相等．14(3)向量夹角的概念要领会，比如正三角形ABC中，与的夹角应为120°，而不是60°.双基自测1．已知
41、a
42、＝3，
43、b
44、＝2，若a·b＝－3，则a与b的夹角为． 2．若a，b，c为任意向量，m∈R，则下列等式不一定成立的是．A．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)B．(a＋b)·c＝a·c＋b·cC．m(a＋b)＝ma＋mb
45、D．(a·b)·c＝a·(b·c)3．若向量a，b，c满足a∥b，且a⊥c，则c·(a＋2b)＝．4．已知向量a＝(1,2)，向量b＝(x，－2)，且a⊥(a－b)，则实数x等于．5．已知
46、a
47、＝
48、b
49、＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，则a与b的夹角为________．考向一 求两平面向量的数量积【例1】►在△ABC中，M是BC的中点，
50、
51、＝1，＝2，则·(＋)＝________.当向量表示平面图形中的一些有向线段时，要根据向量加减法运算的几何法则进行转化，把题目中未知的向量用已知的向量表示出来，在这个过程中要充分利用共线向量定理和平面向量基本定理、以及解三角形
52、等知识．【训练1】如图，在菱形ABCD中，若AC＝4，则·＝________.考向二 利用平面向量数量积求夹角与模【例2】►已知
53、a
54、＝4，
55、b
56、＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61.(1)求a与b的夹角θ；(2)求
57、a＋b
58、和
59、a－b
60、.在数量积的基本运算中，经常用到数量积的定义、模、夹角等公式，尤其对
61、a
62、＝要引起足够重视，是求距离常用的公式．14【训练2】已知a与b是两个非零向量，且
63、a
64、＝
65、b
66、＝
67、a－b
68、，求a与a＋b的夹角．考向三 平面向量的数量积与垂直问题【例3】►已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)．(1)若a⊥b，求x的
69、值；(2)若a∥b，求
70、a－b
71、.已知两向量垂直就是利用其数量积为零列出方程，通过解方程求出其中的参数值．在计算数量积时要注意方法的选择：一种方法是把互相垂直的两个向量的坐标求出来，再计算数量积；另一种方法是根据数量积的运算法则进行整体计算，把这个数量积的计算化归为基本的向量数量积的计算．【训练3】已知平面内A，B，C三点在同一条直线上，＝(－2，m)，＝(n,1)，＝(5，－1)，且⊥，求实数m，n的值． 考向四解决平面向量与解三角形的综合问题【例4】►△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cosA＝.(1)求·；(2)若c－b＝1，
