第二讲平面向量数量积

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1、学大教育平面向量第二讲平面向量的数量积及综合应用【知识点梳理】一、平面向量的数量积：1、向量的夹角概念：对于两个非零向量，如果以为起点，作，那么射线的夹角叫做向量与向量的夹角，其中．2、向量的数量积概念及其运算：（1）定义:如果两个非零向量的夹角为，那么我们把叫做向量与向量的数量积，记作：即：．注：①中的运算符号“”不能省略不写，也不能写成“”；②的结果是一个数量，而不是向量；③如果中有一个是，那么规定它们的数量积为0（2）向量数量积的运算律：①；②；③；④（3）坐标计算公式：若向量，，则3、向量的夹角公式：4、向量的模长：5、平面向量的平行与垂直

2、问题：（1）若，，，则（2）若，，，则【方法突破】1、向量数量积定义的应用：〖例1〗（1）已知向量的夹角为，求（2）已知求：①；②若，求的坐标第5页（共5页）学大教育2、向量的夹角问题〖例2〗（1）已知求的夹角（2）若向量=，=，且，的夹角为钝角，求的取值范围3、向量的模问题〖例3〗（1）已知向量的夹角为，求（2）已知平面向量求的值4、向量的平行垂直问题：〖例4〗（1）已知且，求的值（2）已知若向量，又,求的坐标5、向量的综合应用问题：〖例5〗（1）如图，在中，是边上一点，求的值第5页（共5页）学大教育（2）若，存在实数，，使得,且，求的最小值。6

3、、平面向量与三角函数综合的问题〖例4〗已知向量,且求（1）及;(2)若的最小值是,求实数的值.【巩固练习】1．在中，若，则是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定2.若是非零向量，且，，则函数是（）A．一次函数且是奇函数B．一次函数但不是奇函数C．二次函数且是偶函数D．二次函数但不是偶函数3.若向量=(1,1)，=(2，5)，=(3，)满足条件(8—)·=30，则=4.平面向量的夹角为，，则5.若非零向量满足，，则的夹角为6.在中，=90°，AC=4，则等于7.如图，在ΔABC中，，，，则=8.已知，向量与垂直，则实数的值为9．已

4、知平面向量，，，则；第5页（共5页）学大教育10．已知记向量的夹角为，则11.已知向量，，若向量，则的值为12．（09江苏卷）已知向量和向量的夹角为，，则向量和向量的数量积.13．（08江苏卷）已知的夹角为，，则14．（2011江苏卷）已知是夹角为的两个单位向量，，，若则的值为15.已知，与的夹角为，则等于16．如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，D，E为BC边上的点，且,则　　　　.17.设是单位向量，且·＝0，则的最小值为18．已知中，，则与的夹角为19．已知向量等于20．已知，，若当且仅当时，取得最小值，则向量的夹角为21

5、．设向量与的夹角为，定义与的“向量积”：是一个向量，它的模，若，则22．在中，，点为边所在直线上的一个动点，则的值为23．（07江苏卷）在中，为中线上的一个动点，若，则的最小值是24.（2009江苏高考）设向量（1）若与垂直，求的值；（2）求的最大值;（3）若，求证：∥第5页（共5页）学大教育25.（2010江苏高考）在平面直角坐标系中，已知点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；（2）设实数满足()·=0，求的值。26．设在平面上有两个向量，.（1）求证：向量与垂直；（2）当向

6、量与的模相等时，求的大小．27.若向量且，（1）用表示；（2）求的最小值，并求出此时的夹角的值28.已知向量,，.（1）若，求、的夹角；（2）若，函数的最大值为，求实数的值.第5页（共5页）