函数应用题的解题策略-为先在线

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1、函数应用题的求解策略文/董裕华应用性问题是历年高考数学命题必不可少的题型，也是考生失分较多的一种题型•从近儿年的高考试卷看，函数应用题一肓是高考命题的重点和热点.尽管日前概率应用题的势头被看好，但命题者也在揣摩备考者的心理，函数应用题必定会成为应川题命题的主要冃标•这类试题大多以函数知识为背景，涉及到—•次函数、反比例函数、二次函数、分段函数以及形如y=ax^-的两数等.解答时一般都从建立函数表x达式入手，将实际问题数学化，将文字语言向数学的符号语言或图形语言转化，最终构建成函数、不等式的数学模型，在题II给出的实际定义域内进行求解.

2、—、考点聚焦高考函矗应介题的命题思路主要冇以下特点：1.建构适合的函数模型是解题的关键解答函数应用题，一般应先从建立函数的解析表达式入手，通过研究函数的性质获得解答.这类问题的难点一般有两个：一是解析式的建立，二是数学知识的灵活应用(如借助不等式、导数等工具加以解决).例1某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买兀吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4兀万元，要使-年的总运费与总存储费用之和最小，则兀=吨.分析建立正确的口标函数是前提，可用直译法列式，再运用均值不等式进行求解.解每年购买的次数为型次，则总费用=—.4+4x^27

3、6400=160.当且仅当凹2=牡，即XXXx=20时等号成立.故兀=20吨.评析本题主要考查的是均值不等式的应用.例2有三个新兴城镇，分别位于A、B、C三点处，且AB=AC=13cm,BC=10cm•今计划合建一个中心医院•为同时方便三镇,准备建在BC的垂直平分线上的P点处.(建立坐标系如图1所示)(1)若希望点P到三镇距离的平方和最小，点P应位于何处？(2)若希望点P到三镇的最远距离最小，点P应位于何处？分析本题以函数和不等式等基木知识为背景，考查运用数学知识分析问题和解决问题的能力.解(1)设点P的坐标为(0,y),则P到三镇距

4、离的平方和为f(y)=2(25+y2)+(12-y)2=3(y-4)2+146.所以，当y=4时,函数f(y)取得最小值，此时点P的坐标是(0,4).⑵(解法一)点P到三镇的最远距离为g(x)=的5+y7,当昏孑>H2-yl112-yl,当j25+b<112-yl.111g由V25+y2>H2-yl,解得y>—.故g(x)=<1IQ112-yl,当)y冇.24因为何孑在［―^)上是增函数，而112-yl在(4,竺］上是减函数，所以当尸丄时，函数g(y)取得授小值，此时点P的坐标是(0,—)•(解法二)因为在△ABC中,AB=AC=13

5、,且VaC2-6>C2=12>5=OC.AACB=兰,如图(b)所示•所以，/ABC的外心M在411Q线段AOk,其坐标为(0,—),E•当戶在射线MA上，记P为24Pi；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2.这时P到A、B、C三点的最远距离为RC和PA且HC2MC,PoA^MA,所以当点P与外心M重合时，P到三镇的最远距离最小.此时点P的坐标是(0,竺).24评析本题需要把实际问题抽象为数学问题，较之单纯的数学问题，它把鲜明的客观背景告诉考生，让考生站在决策者的位置上去认识和思考问题，借此可考查考生对外来信息的接受、领悟和提炼

6、能力.b1.y=or+—型函数成为应用题的亮点x形如y=tzx+-的函数，处理的方法和技巧很多.特别是应川题，由于取值范围的限制，有些时候可以用基本不等式求解，有时则要借助函数的单调性来处理.例3对1个单位质量的含污物体进行清洗，清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为：1污物质昴I—)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择，方案甲：一次清洗；物体质量(含污物)方案乙：两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响，其质量变为d(lWdW3).设用兀单位质量的水初次清洗后的清洁度是凹色(兀>。-1),用y质最的水第二次

7、清洗后的清洁度是匸竺，其中x+1y+ac(0.8

8、Z=0.99,解得y=4d.故yz=4d+3,即两种方案的用水量分别为19与4°+3.因为当lWdW3时，兀—z=4(4—。)〉0,即x>z,故方案乙的用水量较少.5c—4(2)设初次与第二次清洗的用水最分别为x和y，类