漫谈数学的基本思想_史宁中

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1、中国大学教学2011年第7期漫谈数学的基本思想史宁中特征是逻辑能力强；通过模型，人们创造出具有表现力一、应当把握数学思想的数学语言，构建了数学与外部世界的桥梁，其思维特征是应用能力强。从事数学教学工作的教师应当把握数学思想，有两个理由。首先，在现实的大学教育中，普遍开设了数学三、什么是抽象文化的课程，这是非常重要的，而数学思想是数学文化的核心。梁漱溟在《东西文化及其哲学》的书中区别了对于数学，抽象主要包括两方面的内容：数量与数文化和文明：文化是那个时代人们生活的样子，文明是量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。其中关系是重那个时代人们创造的东西。据此或

2、许可以说，文化是生要的，正如亚里士多德所说：数学家用抽象的方法对事活的形态表现，文明是生活的物质表现。那么，数学文物进行研究，去掉感性的东西剩下的只有数量和关系；化就是数学的形态表现，可以包括：数学形式、数学历对于数学研究而言，线、角或者其他的量，不是作为存史、数学思想。其中思想是本质的，没有思想就没有文在而是作为关系。化。通过抽象得到数学的基本概念，这些基本概念包括：其次，是为了培养创新性人才。在修改《义务教育数学研究对象的定义、刻画对象之间关系的术语和符号阶段数学课程标准》的过程中，把传统的“双基”扩充以及刻画对象之间关系的运算方法。这种抽象是一

3、种从为“四基”，即在基础知识和基本技能的基础上加上了感性具体上升到理性具体的思维过程，这样的抽象还只基本思想和基本活动经验。基本活动经验的重要性是不是第一次抽象。在此基础上，还能凭借想象和类比进行言而喻的，因为数学的结果是“看”出来的，而不是“证”第二次抽象，其特点是符号化，得到那些并非直接来源出来的，这就依赖于直观判断。正如希尔伯特在《几何于现实的数学概念和运算方法，比如实数和高维空间的基础》第一版的扉页引用康德的话：人类的一切知识都概念，比如极限和四元数的运算。第二次抽象是此理性是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。几乎具体扩充到彼理性具体

4、的思维过程，在这个意义上，数所有的大数学家都强调直观的重要性，数学直观的养成学并非仅仅研究那些直接来源于现实生活的东西。不仅依赖数学知识，更依赖思考问题的方法，依赖思维数量与数量关系的抽象。数学把数量抽象为数，经经验的积累。那么，数学思想是什么呢？过长期的实践，形成了自然数，并且用十个符号和位数表示。数量关系的本质是多与少，把这种关系抽象到数二、数学思想是什么学内部就是数的大小，后来演变为一般的序关系。由大小关系派生出自然数的加法，逆运算产生了减法、简便人们通常所说的等量替换、图形结合、递归法等，运算产生了乘法、乘法逆运算产生了除法。数的运算本只是数

5、学思想方法而不是数学思想。基本数学思想不应质是四则运算，都是基于加法的，这也是计算机的运算当是个案的，而必须是一般的。这大概需要满足两个条原理。通过对运算性质的分析，抽象出运算法则；通过件：一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的那对运算结果的分析，抽象出数的集合。些思想。二是学习过数学的人所具有的思维特征。这些数学还有一种运算，就是极限运算，这涉及数学的特征表现在日常的生活之中。这就可以归纳为三种基本第二次抽象，起因于牛顿、莱布尼茨于1684年左右创立思想，即抽象、推理和模型。通过抽象，人们把外部世的微积分。微积分的运算基础是极限，为了合理解释极

6、界与数学有关的东西抽象到数学内部，形成数学研究的限，特别是合理解释一个变量趋于一个给定常量，1821对象，其思维特征是抽象能力强；通过推理，人们得到年柯西给出了ε–δ语言的描述。这也开始了现代数学的数学的命题和计算方法，促进数学内部的发展，其思维特征：研究对象的符号化、证明过程的形式化、逻辑推史宁中，东北师范大学校长、教授，第五届高等学校教学名师奖获得者。9理的公理化。数学的第二次抽象就是为这些特征服务的。有逻辑的推理，是指所涉及的命题内涵之间具有某种传为了很好地描述极限过程，需要解决实数的连续性递性。在本质上，只存在两种形式的逻辑推理，一种是问题；

7、为了很好地定义实数，需要重新定义有理数。这归纳推理，一种是演绎推理。样，小数形式的有理数就出现了，这已经完全背离分数归纳推理。归纳推理是命题内涵由小到大的推理，形式有理数的初衷：部分与整体的关系，线段的比例关是一种从特殊到一般的推理。因此，通过归纳推理得到系。1872年，从小数形式的有理数出发，康托尔用基本的结论是或然的。归纳推理包括归纳法、类比法、简单序列的方法定义实数，解决了实数的运算问题；戴德金枚举法、数据分析等等。人们借助归纳推理，从经验过用分割的方法定义实数，解决了实数的连续性问题。在的东西出发推断未曾经验过的东西，这便是上面所说的此基础上

8、，1889年佩亚诺给出算术公理体系，1908年策“看”出数学结果，看出的数学结果不一定是正确的，但梅洛给出集