史宁中校长- 数学思想漫谈

《史宁中校长- 数学思想漫谈》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、漫谈数学的基本思想史宁中东北师范大学，长春，130024一、数学思想与数学文化文化是生活的形态表现，文明是生活的物质表现。数学文化是数学的形态表现：形式、历史、思想。思想是本质的，无思想则无文化。《数学课标》：双基→四基、两能→四能基础知识、基本技能+基本思想、基本活动经验分析问题、解决问题+发现问题、提出问题大学的数学教学包括数学文化教育要关注培养学生的思维方法。因为创新：知识技能+思维方法。思维方法的教育：数学思想+思维经验。通常认为的数学思想方法不是数学思想：等量替换、数形结合、分类、递归、转换；

2、配方法、换元法、加强不等式。二、数学的基本思想数学产生与发展所依赖的思想；学习数学以后具有的思维能力。抽象：把与数学有关的知识引入数学内部；抽象能力强。推理：促进数学内部的发展；推理能力强。模型：沟通数学与外部世界的桥梁；应用能力强。抽象：数量与数量关系的抽象；图形与图形关系的抽象。得到：数学研究的对象概念和对象之间的关系概念；运算方法和运算之间的运算法则。亚里士多德：数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉事物中那些感性的东西。对于数学而言，线、角、或者其他的量的定义，不是作为存在而是作为关系。存在性假设多边

3、形→三角形引出抽象的两个层次：直观描述，符号表达。数量的第一步抽象数量→数。2匹马、2头牛→2。数量的本质多与少→数的本质大与小→刻画大小的序关系→自然数、加法有理数≡分数：部分与整体；线段长度之比加法→四则运算；逆运算→数域的扩充自然数→整数、有理数、实数如何定义实数？运算？连续性？抽象是如何存在的：唯实论(柏拉图)，数学是发现；唯名论(亚里士多德)，数学是发明。抽象了的东西是存在的：抽象的存在（形而上、形而下）。数量的第二步抽象变量、极限运算如何理解、如何解释导数：牛顿(16761666)提出，最初

4、的解释是利用无穷小。问题：什么样的函数可导？→明确函数定义+明确极限定义→符号表达1755年，欧拉的变量说，初中。抽象不够问题f1(x)=shi2x+cos2x和f2(x)=1表达是一个函数，还是两个函数？1851年，黎曼的对应说，高中。新概念和物理背景函数→对应→集合集合：所要研究对象的全体？罗素悖论极限运算1821年，从柯西开始了现代数学的特征：符号化、形式化、公理化。可以理解：当n→∞时1/n→0；很难理解：当n→∞时x→0。函数连续，当x→x0时f(x)→f(x0)？1.任何数列xn→x0，

5、都有f(xn)→f(x0)。2.任意ε﹥0，存在δ﹥0，当︱x-x0︱﹤δ时︱f(x)→f(x0)︱﹤ε则称f(x)在x0处连续。两种收敛等价？实数可以连续不断地趋近某一个数？清晰定义实数→清晰定义无理数→重新定义有理数有理数：分数形式→小数形式（有限+无限循环)无理数：无限不循环小数如何判断(百,千)实数≡有理数+无理数如何计算：√2·√3=√2·3？用小数验证？√-2·√-3=√(-2)·(-3)？如何理解：连续≡实数与数轴一一对应？1872年，康托基本序列：满足柯西准则的有理数列。解决实数的运算假

6、定有理数列an→√a,bn→√b。根据极限的性质有an2→a,bn2→b，an2·bn2→a·b则有理数列{an2·bn2}≡{(an·bn)2}确定实数a·b所以有理数列{an·bn}确定实数√a·b，即√a·√b=√a·b1872年，戴德金分割。解决实数的连续性算术公理化系统：九个公理(皮亚诺，1889年)，定义了自然数和加法。证明4≠3。第7公理：a=b，则a+1=b+1；第8公理：a+1≠1。集合公理化系统：九个公理：ZF系统(策梅罗1908年弗兰克尔《集合论基础》)定义：用符号表达的集合、空集、

7、关系、运算；#选择公理(几乎所有数学分支的基本定理)。→实现了数学的符号化、形式化、公理化。形式化与直观的矛盾数学是创造\直观认为集合测度至少要满足下面四个条件：令Ω是由实数集合构成的类，m是类中的集合测度，那么1零测度。空集的测度为零，即m(O)=0。2单调性。对于Ω中的两个集合A和B，如果B⊆A，那么m(B)≦m(A)。3可列可加性。对于Ω中的两个集合A和B，如果A∩B=O，那么m(A∪B)=m(A)+m(B)，对可数个不交集合成立。4平移不变性。对于给定的实数c，令B(c,A)表示集合A对于c的平移

8、变换，则这两个集合的测度相等，即B≡B(c,A)={b=c+a;a∈A}→m(B)=m(A)。直观认为用区间长度来定义集合测度是自然的，即定义：m((a,b])=b-a。如果不满足，原因不在定义而在标准。检验四个条件。条件1：零测度。因为单点集(a,a]是一个空集，则m((a,a])=0。条件2：单调性。区间长度显然满足。条件3：可列可加性。令A={an；n=1,2,……}则m(A