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1、DOI:10.16164/j.cnki.22-1062/c.2008.05.0212008年第5期东北师大学报(哲学社会科学版)No.52008总第235期JournalofNortheastNormalUniversity(PhilosophyandSocialSciences)SumNo.235[编者按]《数学的抽象》这篇论文,将会成为作者一本关于数学思想的著作的一章,其讨论的问题是我们这个时代特别需要解决的,论文自始至终贯穿着强烈的问题意识和文化的针对性。因此我们对这篇文字进行了整理,并发表于本刊,
2、以飨读者。严格地说,数学是一种西学,作者大概是出于对思想史的尊重,出于寻找数学抽象的思想源流和资源的意图,仿佛怀旧式地对西方思想史进行了一次游历,作者在与柏拉图、亚理士多德、培根、笛卡尔、洛克、休谟、康德、叔本华等经典哲学家的对话间,以一双敏锐的现代数学家的眼睛,时而以十分虔敬的心情充分欣赏思想家们的伟大观点,时而尖刻而亲切地指出思想家们的历史局限,时而又以操纵式姿态调侃着某些思想家的某些观点,这种对话和攀谈如同发生在老熟人、老同行、老朋友之间一样,这让我们好像在观看名为“数学的抽象”的一场精彩表演,在一
3、种轻松的,然而又严肃的心情中了解到作者所谈论的话题的论证过程和观点。读来令人颇多回味和想象。数学的抽象史宁中(东北师范大学,吉林长春130024)[摘要]数学在本质上研究的是抽象的东西,数学的发展所依赖的最重要的基本思想也就是抽象,只有通过抽象才能得到抽象的东西。在柏拉图的理念论之下,数学的概念就不应当是经验意义上的存在,而应当是一种永恒的存在;亚里士多德不赞成柏拉图的想法,认为一般概念是人们在日常生活的经验中,通过对于许多具体存在事物的共同性质抽象而得到的,所以一般概念不可能是真正的存在。亚里士多德的观
4、点仍然需要补充,数学研究所涉及的基本概念并不一定都是直接从现实的具体的存在中抽象出来的,也可以借助符号与类比得到更高层次的抽象,这里既包括感性具体也包括理性具体。我们通过与培根、笛卡尔、洛克、休谟、康德、叔本华等思想家的攀谈,获得正反两方面的思想资源,在现代科学知识的语境下洞察到数学抽象的真实过程和本质。在讨论知识获得的问题时,我们不能忘记一个根本,即人的本性,也就是人之所以被称为人的本质,抽象了的东西是人抽象出来的,这就不能不依赖人的本性。事实上,就某一个抽象了的东西而言,还应当依赖于某一个具体的人或者
5、某一群具体的人,但在这里我们只讨论一般意义上的抽象。人获得知识所凭借的,是先天的同时又依赖于经验的“直观能力”,数学抽象能力与这种直观能力是同构的,也是一种依赖于经验的先天抽象能力,现在的数学体系就是人们通过日常生活和生产实践的具体事物,运用数学抽象的能力逐渐构建起来的。讨论这种抽象至少可以给数学教育提供两个重要启迪:一个是受教育者应当在适当的时机给予适当的教育;另一个是在传授知识的同时也应当注重培养受教育者的直观能力。[关键词]数学抽象;感性经验;逻辑经验;直观能力;本能[中图分类号]B51/56;01
6、[文献标识码]A[文章编号]1001-6201(2008)05-0169-13数学在本质上研究的是抽象的东西,因此可以推断,数学的发展所依赖的最重要的基本思想[收稿日期]2008-07-10[作者简介]史宁中(1950-),男,江苏宜兴人,东北师范大学校长,教授,博士生导师。·169·也就是抽象,因为只有通过抽象才能得到抽象的的,也是不可能的。这样,数学的概念就不应当是东西①。为了说明这一点,我们已经从数量与数经验意义上的存在,而应当是一种永恒的存在。量关系、图形与图形关系这两个方面进行了阐述,你踢足球时
7、感悟到了圆,但你不踢足球的时候,圆分析了人们是如何从日常生活和生产实践中抽象这个概念依然是存在的;你在黑板上画了一个三出数学所要研究的概念和法则的,以及人们是如角形,三角形是存在的,你把这个三角形擦掉,三何通过更高层次的抽象来合理地解释了这些概念角形这个概念依然是存在的。为了更好地解释,和法则。柏拉图把这种永恒的存在称为理念,并且认为只如果我们认定,“抽象的东西”的就是数学研有理念才是真正的存在。亚里士多德是这样阐述究所必须定义的最基本的概念。那么就出现了一柏拉图的这种想法的:个很难给出确切答案的问题:这
8、些数学概念是如柏拉图认为定义是关于非感性事物的,而不何存在的?有一种说法认为,这些概念是客观存是那些感性事物的。正是由于感性事物不断变在的,人们通过某种方式发现或者认识了这些概化,所以不能有一个共同定义。他一方面把非感念,因此,这些概念是永恒的存在,是实体;还有一性的东西称为理念,另一方面把感性的东西作为种说法认为,这些概念原本是没有的,是人为地创说明置于理念之外。柏拉图认为,只有理念才得造出来的,因此,这些概念只是名而已,不
