漫谈数学的基本思想

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1、漫谈数学的基本思想1漫谈数学的基本思想史宁中（东北师范大学）一、应当把握数学思想从事数学教学工作的教师应当把握数学思想，有两个理由。首先，在现实的大学教育中，普遍开设了数学文化的课程，这是非常重要的，但数学思想是数学文化的核心。梁漱溟在《东西文化及其哲学》的书中区别了文化和文明：文化是那个时代人们生活的样子，文明是那个时代人们创造的东西。据此或许可以说，文化是生活的形态表现，文明是生活的物质表现。那么，数学文化就是数学的形态表现，可以包括：数学形式、数学历史、数学思想。其中思想是本质的，没有思想就没有文化。其次，为了培养创新性人才，在修改《义务教育

2、阶段数学课程标准》的过程中，把传统的“双基”扩充为“四基”，即在基础知识和基本技能的基础上加上了基本思想和基本活动经验。其中，基本活动经验的重要性是不言而喻，因为数学的结果是“看”出来的，而不是“证”出来的，这就依赖于直观判断，正如希尔伯特在《几何基础》第一版的扉页引用康德的话：人类的一切知识都是从直观开始，从那里进到概念，而以理念结束。几乎所有的大数学家都强调直观的重要性，数学直观的养成不仅依赖数学知识，更依赖思考问题的方法，依赖思维经验的积累。那么，数学思想是什么呢？二、数学思想是什么人们通常所说的等量替换、图形结合、递归法等，只是数学思想方法

3、而不是数学思想。数学思想不应当是个案的，必须是具有一般意义的，大概需要满足两个条件：一是数学产生以及数学发展过程中所必须依赖的基本思想，二是人们在谈论数学时，总要谈及到的独特素质。这样，可以归纳为三种基本思想，抽象：把外部世界与数学有关的东西抽象到数学内部，其素质为抽象能力强；推理：逻辑推理促进数学内部的发展，其素质为逻辑能力强；模型：沟通数学与外部世界的桥梁，其素质为应用能力强。三、什么是抽象对于数学，抽象主要包括两方面的内容：数量与数量关系的抽象，图形与图形关系的抽象。其中关系是重要的，正如亚里士多德所说：数学家用抽象的方法对事物进行研究，去掉

4、感性的东西剩下的只有数量和关系；对于数学研究而言，线、角，或者其他的量，不是作为存在而是作为关系。通过抽象得到数学的基本概念，从而把现实生活中的与数学有关的东西引入数学的内部。这些基本概念包括数学的研究对象的定义，刻画对象之间关系的术语和符号；还包括刻画对象之间关系的运算方法。这种抽象是一种从感性具体上升到理性具体的思维过程，但这样的抽象2大学数学课程报告论坛论文集2010只是第一次抽象。在此基础上，还能凭借想象和类比进行第二次抽象，其特点是符号化，得到那些并非直接来源于现实的数学概念和运算方法，比如实数和高维空间的概念，比如极限和四元数的运算。第

5、二次抽象是此理性具体扩充到彼理性具体的思维过程，在这个意义上，数学并非仅仅研究那些直接来源于现实生活的东西。数量与数量关系的抽象。数量作为一种语言的表述，在日常生活中是大量存在的，数学把数量抽象为数，经过长期的实践，形成了自然数，并且用十个符号和位数表示。数量关系的本质是多与少，把这种关系抽象到数学内部，就是数的大小，后来演变为一般的序关系。由大小关系派生出自然数的加法，逆运算产生了减法、简便运算产生了乘法、乘法逆运算产生了除法。数的运算本质是四则运算，都是基于加法的，这也是计算机的运算原理。通过对运算性质的分析，抽象出运算法则；通过对运算结果的分

6、析，抽象出数的集合。数学还有一种运算，就是极限运算。数必须进行第二次抽象的缘由，起因于牛顿、莱布尼茨于1684年左右创立的微积分，这涉及极限运算。为了合理解释极限，特别是合理地描述一个实数变量趋于一个给定实数，直到1821年，柯西给出了ε-δ语言的描述，开始了现代数学的特征：研究对象的符号化，证明过程的形式化，逻辑推理的公理化。数学的第二次抽象就是为这些特征服务的。为了很好地描述极限过程，需要解决实数的连续性问题；为了很好地定义实数，需要重新定义有理数。这样小数形式的有理数就出现了，这已经完全背离分数形式有理数的初衷：部分与整体的关系；线段的比例关

7、系。1872年，从小数形式的有理数出发，康托尔用基本序列的方法定义实数，解决了实数的运算问题；戴德金用分割的方法定义实数，解决了实数的连续性问题。在此基础上，1889年佩亚诺给出算术公理体系，1908年策梅洛给出集合论公理体系，建立了现代数学的基础。图形与图形关系的抽象。欧几里得最初抽象出点、线、面这些几何学的研究对象是有物理属性的，比如，点是没有部分的那种东西。随着几何学研究的深入，特别是非欧几何学的出现，人们需要重新审视传统的欧几里得几何学，比如两条直线相交必然交于一点：如何交到没有部分的点上？1898年，希尔伯特重新定义了点、线、面：用大写字

8、母A表示点，用小写字母a表示线，用希腊字母α表示面，完全是符号化的定义，然后给出了五组公理，实现了几何研究的公理体系。这些