弹性力学第九章薄板弯曲问题

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1、第九章薄板弯曲问题第九章薄板的弯曲问题§9-1有关概念及计算假定§9-2弹性曲面的微分方程§9-3薄板截面上的内力§9-4边界条件扭矩的等效剪力9－1有关概念及计算假定中面：平分板厚度t的平面简称为中面。薄板：板的厚度t远小于中面的最小尺寸b，这样的板称为薄板。图9－1薄板的弹性曲面：薄板弯曲时，面所弯成的曲面。挠度：薄板弯曲时，中面内各点在垂直于中面方向的位移。一、基本概念9－1有关概念及计算假定薄板的小挠度弯曲理论，三个计算假定。也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都具有相同的位移，其值

2、等于挠度。由几何方程可得与梁的弯曲相似，在梁的任意一横截面上，所有各点都具有相同的位移，其值等于轴线的挠度。计算假定：（1）垂直于中面方向的正应变可以不计。即图9－19－1有关概念及计算假定这里与梁的弯曲相同之处，也有不同之处，梁的弯曲我们只考虑横截面，板的弯曲有两个方向，要考虑两个横截面上的应力。（2）应力分量和远小于其余三个应力分量，因而是次要的，们所引起的形变可以不计。但它们本身是维持平衡所必需的，不能不计。所以有：9－1有关概念及计算假定结合第一假定，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲

3、面的法线。由于不计所引起的形变，所以其物理方程与薄板平面问题中的物理方程是相同的。（9－2）9－1有关概念及计算假定（3）薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即：所以由几何方程可以得出：也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它在面上投影的形状却保持不变。9－2弹性曲面的微分方程9－2弹性曲面的微分方程薄板的小挠度弯曲问题是按位移求解的，挠度为基本未知函数。用表示其它未知函数：（1）纵向位移：（2）主要应变分量：（3）主要应力分量：（4）次要应力分量：（5）更次要应力分量：怎么表示？？－－

4、利用空间问题的基本方程、边界条件和三个假定。9－2弹性曲面的微分方程（1）用挠度表示纵向位移由假定（2）知代入几何方程（7－8）移项，积分：应用假定（3）知，纵向位移9－2弹性曲面的微分方程（2）用挠度表示主要应变分量把代入几何方程（7－8）（a）9－2弹性曲面的微分方程（3）用挠度表示主要应力分量由物理方程（9－2）知（9－2）把（a）代入物理方程（9－4）9－2弹性曲面的微分方程（4）用挠度表示次要应力分量利用平衡微分方程（7－1）的前两式（不考虑体力）把（9－4）代入上式9－2弹性曲面的微分方程将上两式积

5、分利用应力边界条件确定函数板上下边界的应力边界条件表达式为：（9－5）9－2弹性曲面的微分方程（5）用挠度表示更次要应力分量利用平衡微分方程（7－1）的第三式（不考虑体力）（c）将应力分量（9－5）代入（c）上式对z积分（e）9－2弹性曲面的微分方程利用板下板面的边界条件确定待定函数下板面的应力边界条件：求出代入（e）（9－6）9－2弹性曲面的微分方程下面推导的微分方程利用薄板的上板面的应力边界条件（f）其中，是薄板单位面积内的横向载荷，包括横向面力和横向体力。将的表达式（9－6）代入式（f）（9－7）（9－8

6、）（9－9）D：薄板的弯曲刚度，量纲，（9－8）：薄板的弹性曲面微分方程9－2弹性曲面的微分方程小结：（1）推导过程满足空间问题的平衡微分方程、几何方程和上下板面的只要应力边界条件。（2）弹性曲面微分方程（9－8）＋主要边界的应力边界条件＋侧面的位移边界条件（3）根据（9－4）－（9－6）求得应力分量。（4）弹性曲面微分方程（9－8）＋侧面的位移边界条件，构成了薄板弯曲问题按位移求解的一般提法。9－3薄板横截面上的内力9－3薄板横截面上的内力图（9－2）薄板横截面上的内力（薄板内力）是指薄板横截面的单位宽度上，

7、由应力合成的主矢量和主矩。取图（9－2）所示的微元xz面上的应力：yz面上的应力：下面就一个一个分析它们合成的主矢量个主矩9－3薄板横截面上的内力（1）应力分量由公式（9－4）知，合成的主矢量为零；对中面合成的弯矩把（9－4）代入上式（a）9－3薄板横截面上的内力（2）应力分量由公式（9－4）知，合成的主矢量为零；应力分量合成横截面内的扭矩把（9－4）代入上式（b）9－3薄板横截面上的内力（2）应力分量应力分量只可能合成横向剪力，在单位宽度上将（9－5）的第一式代入，并对z积分（c）9－3薄板横截面上的内力同理

8、，在xz面上（y为常量）也分别合成弯矩、扭矩和横向剪力。（d）（e）（f）9－3薄板横截面上的内力将（9－9）代入（a）－（f）（9－9）（9－10）9－3薄板横截面上的内力薄板内力正负方向的规定图（9－3）9－3薄板横截面上的内力利用（a）－（f）消去（9－4）和（9－5）中的，把（9－8）代入（9－6）（9－11）9－3薄板横截面上的内力应力分量的最大值发生在板面；应力分量的最大值