弹性力学及有限单元法_邵国建_薄板弯曲问题.ppt

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1、第一节有关概念及计算假定第二节弹性曲面的微分方程第三节薄板横截面上的内力第四节边界条件扭矩的等效剪力第五节四边简支矩形薄板的重三角级数解第六节矩形薄板的单三角级数解第七节矩形薄板的差分解第八节圆形薄板的弯曲第九节圆形薄板的轴对称弯曲例题第九章薄板弯曲问题薄板是厚度远小于板面尺寸的物体。§9-1有关概念及计算假定定义薄板的上下平行面称为板面。薄板的侧面，称为板边。平分厚度的面,称为中面。比较薄板受到横向荷载（⊥板面）的作用--薄板的弯曲问题。薄板受到纵向荷载（∥板面）的作用--平面应力问题；杆件受到横向荷载（⊥杆轴）的作用--

2、梁的弯曲问题。杆件受到纵向荷载（∥杆轴）的作用--杆件的拉压问题；薄板弯曲问题属于空间问题。其中，根据其内力及变形的特征，又提出了3个计算假定，用以简化空间问题的基本方程，并从而建立了薄板的弯曲理论。特点当薄板弯曲时，中面所弯成的曲面，称为薄板的弹性曲面。定义小挠度薄板--这种板虽然薄，但仍有相当的抗弯刚度。它的特征是：(3)在内力中，仅由横向剪力与横向荷载q成平衡，纵向轴力的作用可以不计。(2)在中面位移中,w是主要的，而纵向位移u,v很小，可以不计；(1)具有一定的刚度，横向挠度；1.垂直于中面的线应变可以不计。取，由，

3、得故中面法线上各点，都具有相同的横向位移，即挠度w。本章研究小挠度薄板的弯曲问题。根据其内力和变形特征，提出了3个计算假定：计算假定弯应力（合成弯矩）及扭应力（合成扭矩）横向切应力（合成横向剪力）挤压应力2.次要应力分量远小于其他应力分量，它们引起的形变可以不计。薄板中的应力与梁相似，也分为三个数量级：所以为次要应力，为更次要应力。略去它们引起的形变，即得并在空间问题的物理方程中，略去引起的形变项。因此，当略去后，薄板弯曲问题的物理方程为(1)在薄板弯曲问题中，略去了次要应力引起的形变;但在平衡条件中，仍考虑它们的作用。说明

4、：⑵薄板弯曲问题的物理方程(b)与平面应力问题的物理方程相同。但沿板厚方向，对于平面应力问题的应力为均匀分布，合成轴力而薄板弯曲问题的应力为线性分布，在中面为0，合成弯矩和扭矩。⑶从计算假定1、2，得出故中面法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。因此，中面在变形后，其线段和面积在xy面上的投影形状保持不变。由于故3.中面的纵向位移可以不计，即实践证明，只要是小挠度的薄板，薄板的弯曲理论就可以应用，并具有足够的精度。类似于梁的弯曲理论，在薄板弯曲问题中提出了上述3个计算假定，并应用这3个计算假定,简化空间问题的基

5、本方程，建立了小挠度薄板弯曲理论。1.试考虑在材料力学梁的弯曲问题中，是否也应用了这3个计算假定？2.在材料力学的梁弯曲问题中，采用了平面截面假设。在薄板中有否采用此假设？思考题§9-2弹性曲面的微分方程本节从空间问题的基本方程出发，应用3个计算假定进行简化，导出按位移求解薄板弯曲问题的基本方程。薄板问题解法2.将其他未知函数─纵向位移u,v；主要应变分量;主要应力分量；次要应力分量及最次要应力均用w来表示。薄板弯曲问题是按位移求解的，主要内容是：4.导出板边的边界条件。3.导出求解w的方程。1.取挠度w(x,y)为基本未知

6、函数。具体推导如下：1.取挠度为基本未知函数。应用几何方程及计算假定1，2.将，用表示。应用几何方程及计算假定2，得对积分，又由计算假定3，故得3.主要应变用表示。应用其余三个几何方程，并代入(a)，得：(b)4.主要应力用表示。应用薄板的三个物理方程及式(b)，得：(c)5.次要应力用表示。应用平衡微分方程的前两式（其中纵向体力），有代入式(c)，并对z积分，得：其中因为上下板面是大边界，必须精确满足应力边界条件由此求出及，代入得到6.更次要应力用表示。应用第三个平衡微分方程，将体力及板面上的面力等效地移置到上板面，有代入

7、式(d)，并对z积分，得由下板面的边界条件求出，故更次要应力为7.导出求解w的基本方程。由上板面边界条件（属于静力平衡条件）得出在A域中求w的方程，(f)(g)为薄板的抗弯刚度求w方程说明：⑴在三个计算假定下，纵向位移u,v；主要应变；主要应力；沿z向均为线性分布，在中面为0；次要应力（横向切应力）沿z向为抛物线分布；－－均与材料力学相似。更次要应力（挤压应力）沿z为三次曲线分布。⑵按位移求解薄板弯曲问题，只取为基本未知函数。在导出求的基本方程中应用了3个计算假定，与材料力学解梁的弯曲问题相似。⑶从上述推导过程可见,空间问题

8、的6个几何方程，6个物理方程和3个平衡微分方程都已考虑并满足（其中应用了3个计算假定）；并且在（）的大边界板面上，3个应力边界条件也已精确满足。⑷只有板边的边界条件尚未考虑，它们将作为求解微分方程（f）的边界条件。思考题试比较梁的弯曲问题和薄板弯曲问题的异同。薄板内力，是薄板每单位宽度的横