弹性力学问题有限单元法绪论

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1、有限元分析FiniteElementAnalysis什么是有限元方法？它是解科学和工程中连续介质问题或场问题的高效数值方法。有限元方法有什么用？它应用于求解固体力学、流体力学、热力学、电磁学等等学科中复杂大系统的动态分析问题。有限元方法有什么优点？它的优点是能够求解以往无法想向的复杂又巨大的问题。为什么？由于数学工具有限，以往我们能够以分析解的形式处理的问题是相对简单的。简单首先是可以处理的模型要是大量简化的，如材料力学模型，主要就是梁和杆。实际的物理问题是非常复杂的。其数学模型的基本形式是针对一个连续域的偏微分方程，基本自

2、变量是域的几何坐标变量，有域边界条件；所谓动态是指问题的自变量包括时间，这又有初始条件。因变量是描述物理现象的特征量。除少数很简单的问题外，一般偏微分方程表达的连续域场问题很难得到分析解。这里的简单：一是指域比较规则；二是指方程形式要简单（线性问题）。科学和工程技术的发展产生分析复杂问题的强烈需求！途径之一是数值方法；数值方法的本质类似于“钳工挫圆”：小段的直线的组合最终可形成一定精度的曲线的“圆”。需要两种类型的“小段直线”一种是真正几何意义上的，如小直线，小平面或小立方体。它们要用来近似原物理问题的几何域。另一类是针对

3、物理问题因变量的；可以想到，如果原问题物理因变量的连续性足够好，在一个“已知”因变量点附近，只要这个“附近”足够小，因变量的变化不会太复杂。这就是函数插值的思路。这两者结合起来就是有限元法的思路！两者结合的方法有很多种，比如一种直截了当的方法就是差分法；而有限元方法所用的结合方式是利用原问题偏微分方程的等价弱解形式。前述虚功方程以及如最小势能原理等能量泛函形式的表达就是原问题偏微分方程的等价弱解形式。其过程是：域分小块；因变量用插值表达；利用弱解形式将原偏微分方程转化为线性代数方程；解线性代数方程。有限元方法的实质是：用分

4、片插值结合弱解表达的方法将原连续域无限维场问题转化为离散域有限维线性代数方程问题，以方便于计算机求解。例：分析直齿轮上一个齿内的应力分布分析如图0—1所示的一个平面截面内位移分布。作为近似解，可以先求出图中三角形各顶点位移。这里的三角形就是单元，其顶点就是节点。从物理角度理解把一个连续的齿形截面分割成图0—1表示的很多小三角形单元，而单元之间在节点处以铰链相连接，由单元组合而成的结构近似代替原连续结构。如果能合理地求得各单元的弹性特性，也就可以求出这个组合结构的弹性特性。这样，结构在一定的约束条件下，在给定的载荷作用下，就可

5、以求解各节点的位移，进而求解单元内的应力。从数学角度理解把图0—1所示的求解区域剖分成许多三角形子域，子域内的位移可用三角形各顶点的位移合理插值来表示。按原问题的控制方程和约束条件，可以解出各节点的待定位移。推广到其他的连续域问题，节点未知量也可以是压力、温度、速度等物理量。有限元方法的研究内容在一定条件下，由单元集合成的组合结构能近似于真实结构；在此条件下，分区域插值求解也就能趋近于真实解。这种近似的求解方法及其所应满足的条件，就是有限元方法所要研究的内容。为什么有限元法得以迅速发展？有限元方法可适应于任意复杂的几何区域，

6、便于处理不同的边界条件。满足一定条件下，单元越小，节点越多，有限元数值解的精度也就越高。由单元计算到集合为整体区域的有限元分析，都很适应于计算机的程序设汁，可由计算机自动完成现代计算机的大存贮量和高计算速度为计算提供了必要的手段。有限元方法是与工程应用密切结合的，是直接为产品设计服务的。因而随着有限元理论的发展与完善，各种大大小小、专用的、通用的有限元结构分析程序也大量涌现出来。典型的有Ansys,Nastran,Sap等。大型通用程序一般包括结构静力分析、动力分析、稳定性以及非线性分析等，有的还包括热传导、热应力、流体等分

7、析，有齐全的单元库和有效的解算手段。目前，一般的工程结构分析问题，都可以直接用通用程序求解，不必花费精力和时间另编计算程序。为合理地使用通用程序、准备数据以及恰当地分析计算结果，都要求对有限元基本理论及程序设计有一定程度的理解。随着计算机的广泛应用，结构有限元分析与产品设计结合起来，形成产品分析、设计、制造一体化(CAD、CAM)，这将是工程生产的发展方向，有限元法在其中将起着重要作用。有限元的发展方向有限元发展至今已有40多年的历史了，已经比较成熟了，但在巩固有限元方法的物理、数学基础方面，扩大其应用领域，以及求解诸如非线

8、性、不同物理作用相互耦合、多体机构动态分析以及由材料微观结构计算其力学性能等复杂问题方面，有限元法还会不断发展并取得成功。对我们从事设计工作的技术人员，推广有限元的应用，以改进产品设计、提高产品性能，更是非常现实的问题。结构的有限元分析涉及力学原理、数学方法和计算机程序设计等几个方面，诸方