弹性力学圆形薄板

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1、圆形薄板轴对称弯曲问题主要内容：一、有关概念及假定四、Mathcad解题应用三、圆形薄板轴对称弯曲问题的求解二、弹性曲面的基本公式一、基本概念及假设1、基本概念——中面平分板厚度t的平面简称为中面。——薄板板的厚度t远小于中面的最小尺寸b，这样的板称为薄板。2、假设薄板的小挠度弯曲理论，是以三个计算假设为基础的。（1）、垂直于中面方向的正应变可以不计。即也就是说，在中面的任意一根法线上，薄板全厚度内所有各点都具有相同的位移，其值等于挠度。由几何方程可得与梁的弯曲相似，在梁的任意一横截面上，所有各点都具有相同的位移，其值等于轴线的挠度。（2）、应力分量和远小于其余三个应力

2、分量，因而是次要的，它们所引起的形变可以不计。但它们本身是维持平衡所必需的，不能不计。所以有：这里与梁的弯曲相同之处，也有不同之处，梁的弯曲我们只考虑横截面，板的弯曲有两个方向，要考虑两个横截面上的应力。结合第一假设，可见中面的法线在薄板弯曲时保持不伸缩，并且成为弹性曲面的法线。由于不计所引起的形变，所以其物理方程与薄板平面问题中的物理方程是相同的。（3）、薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即：也就是说，中面的任意一部分，虽然弯曲成弹性曲面的一部分，但它在xy面上投影的形状却保持不变。所以由几何方程可以得出：二、弹性曲面的基本公式1、弹性曲面的微分方程。薄板的小挠度

3、问题是按位移求解的，其基本未知函数是薄板的挠度ω。因此把其它所有物理量都用ω来表示，即可得弹性曲面的微分方程。其中由假设可得即积分得下面对弹性曲面的微分方程进行推导。根据薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移即：可得由几何方程可得由物理方程可得另由平衡方程可得即积分得x,y)根据薄板上下面内的边界条件：可求得F1(x,y),F2(x,y),最后得到：另由平衡方程可得即积分得根据薄板下面内的边界条件：可求得F3(x,y),最后得到：根据薄板上面内的边界条件：最后得到：可记为其中代入截面上的内力：弯矩可得同样可得MyMx由由可得截面上的内力：扭矩可得由截面上的内力：剪力同样可

4、得Qy,记可得如果用截面内力表示截面上的应力，可得截面上的最大应力，正应力发生在板的上下面上，切应力发生在板的中面上，其值为3、边界条件边界上的应力边界条件，一般难于精确满足，一般只要求满足边界内力条件。情况一：以矩形薄板为例，说明各种边界处的边界条件。假设OA边是固支边界，则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即情况二：OC具有简支边界。则边界处的挠度和弯矩等于零。即：后者可表示为＝0由于沿边界的挠度为常值0，故沿x后的导数恒为零，边界条件又可表示为＝0情况三：假设薄板具有简支边界。边界上具有力矩载荷M。这时，边界处的挠度等于零，而弯矩等于力矩载荷。即：情况四：假设薄板

5、具有自由边界。边界上具有力矩载荷Mx或My、Mxy及分布剪力Qx或Qy。这时，弯矩等于边界力矩载荷,扭矩Mxy应转换为等效剪力与原有分布剪力Qx或Qy合并为一个条件，分析如下。边界上的分布扭矩就变换为等效的分布剪力边界上的总的分布剪力为除此之外，在A和B还有未被抵消的集中剪力（也就是有集中反力）2、板弯曲的解题思路曲面微分方程边界条件挠度ω应力分量方程应力分量方程三、圆形薄板弯曲问题1求解圆形薄板弯曲问题时，用极坐标比较方便。把挠度和横向载荷都看作是极坐标ρ和φ的函数。即：ω=ω(ρ,φ)，q=q(ρ,φ)进行坐标变换可得：ρφ则弹性曲面的微分方程可以变换为：D为板的抗弯

6、刚度2、如果圆形薄板的边界是绕z轴对称的，它所受的横向载荷也是绕z轴对称的，q只是ρ的函数，则该薄板的弹性曲面也是绕z轴对称的，即ω只是ρ的函数，这时，弹性曲面的微分方程将简化为：这个常微分方程的解答是：此时，从板中取出一单元体，则单元体单位长度上的弯矩和扭矩以及板中应力分别为：应力分别为：在弹性曲面微分方程解答中的ω1是任意一个特解，可以根据载荷的分布按照弹性曲面微分方程的要求来选择；A、B、C、K任意常数，由边界条件来决定。对于均布载荷q，取特解ω1=Nρ4代入微分方程，可解得N=q/64D。得特解ω1=qρ4/64D所以轴对称载荷的圆板弯曲的一般解为：（解题思路→A

7、、B、C、K）3、典型问题的边界分析※对于无孔圆板受均布载荷的问题由于薄板中心无孔，所以B和C应当等于零。否则板中心（R=0）处内力及挠度将无限大（参考前内力公式）。而A、K则由边界条件求解。情况一：假设半径为a的薄板具有固支边界。则边界处的挠度和曲面的法向斜率等于零。即将二式联立解方程组，可得A，K。情况二：假设半径为a的薄板具有简支边界。则边界处的挠度和弯矩等于零。即：联立二式解方程组，可得A，K。联立二式解方程组，可得A，K。情况三：假设半径为a的薄板具有简支边界。但无横向载荷q，边界上具有均布力矩载荷M。这时，q等于零