圆形薄板的压曲

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1、分析圆形薄板的压曲，必须采用极坐标形式。为此，我们来把直角坐标中的压曲微分方程向极坐标中进行变换。应力的变换式为：乘以薄板的厚度δ，即可得中面内力的变换式如下22FFcosFsin2Fsincos,TxTrTTr22FFsinFcos2Fsincos,TyTrTTr22F(FF)sincosF(cossin).TxyTrTTr其中的F,F,F.(1613)TrrTTrr我们将变换式一并代入直角坐标中的压曲微分方程，简化后可得极坐标中的压曲微分方程222112w1wD()w[F2

2、F()222Tr2Trrrrrrrr21w1wF()]0。T22rrr利用这一微分方程满足边界条件的非零解，可以求得临界载荷。例：设有圆形薄板，沿板边受均布压力，在板边的每单位长度上为Pr，如右图所示。按照平面应力问题进行分析，可得应力分量：Pr,r0。r从而中面内力为：FFP,F0。TrTrTr于是压曲方程为试为上列偏微分方程取如下形式的解答：其中n=0,1,2,…，n=0时，薄板的压曲形式是轴对称的。将代入压曲方程，整理得引入无因次变量x，其中F/D，则上列常微分方程变换为它可以改写为还可以改

3、写为222dd22dFdF22[x3x(4n)][xx(xn)F]0。22dxdxdxdx我们知道贝塞尔微分方程的解答为其中Jn(x)及Nn(x)分别为实宗量的、阶的第一种及第二种贝塞尔函数。由式(f)及式(e)可见，式(g)也是(e)的解答，因而也是式(c)的解答。但是，式(d)的另一种解答是：代入到式(d)以后，得要满足这一方程，必须有取mn，则(i)中的两式都满足。于是由(g)及式(h)得到从而由式(b)得到对于无孔圆板，在板的中心(xr0),w不能为无限大，而Nn(x)和x-n在x趋近0时将趋于无限大，所以必须取C3=C4=0，于是有利用板的两个边

4、界条件，可得出C1及C3的一组两个齐次线性方程。命该方程组的系数行列式等于零，就得到计算临界载荷的方程。对于中心有圆孔的圆形薄板，并在板边和孔边受到不同大小的均布压力时，也可以先由拉梅解答求出中面内力，然后应用压曲微分方程，利用贝塞尔函数求解，从而求得临界载荷。