圆形薄板在均布载荷作用下的挠度.doc

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1、第四节平板应力分析3.4平板应力分析3.4.1概述3.4.2圆平板对称弯曲微分方程3.4.3圆平板中的应力3.4.4承受对称载荷时环板中的应力3.4.1概述1、应用：平封头：常压容器、高压容器；贮槽底板：可以是各种形状；换热器管板：薄管板、厚管板；板式塔塔盘：圆平板、带加强筋的圆平板；反应器触媒床支承板等。2、平板的几何特征及平板分类几何特征：中面是一平面厚度小于其它方向的尺寸。分类：厚板与薄板、大挠度板和小挠度板。图2-28薄板t/b≤1/5时(薄板)w/t≤1/5时（小挠度）按小挠度薄板计算3、载荷与力载荷：①平面载荷：作用于板中面的载荷②横向

2、载荷垂直于板中面的载荷③复合载荷力：①薄膜力——中面的拉、压力和面剪力，并产生面变形②弯曲力——弯矩、扭矩和横向剪力，且产生弯扭变形◆当变形很大时，面载荷也会产生弯曲力，而弯曲载荷也会产生面力，所以，大挠度分析要比小挠度分析复杂的多。◆本书仅讨论弹性薄板的小挠度理论。4、弹性薄板的小挠度理论基本假设---克希霍夫Kirchhoff①板弯曲时其中面保持中性，即板中面各点无伸缩和剪切变形，只有沿中面法线的挠度。只有横向力载荷②变形前位于中面法线上的各点，变形后仍位于弹性曲面的同一法线上，且法线上各点间的距离不变。类同于梁的平面假设:变形前原为平面的梁的

3、横截面变形后仍保持为平面，且仍然垂直于变形后的梁轴线。③平行于中面的各层材料互不挤压，即板垂直于板面的正应力较小，可忽略不计。◆研究:弹性,薄板/受横向载荷/小挠度理论/近似双向弯曲问题3.4.2圆平板对称弯曲微分方程分析模型分析模型：半径R，厚度t的圆平板受轴对称载荷Pz，在r、θ、z圆柱坐标系中，力Mr、Mθ、Qr三个力分量轴对称性：几何对称，载荷对称，约束对称，在r、θ、z圆柱坐标系中，挠度只是r的函数，而与θ无关。求解思路：经一系列推导（基于平衡、几何、物理方程）→弯曲挠度微分方程（）→求求→力→求应力微元体：用半径为r和r+dr的圆柱面和

4、夹角为dθ的两个径向截面截取板上一微元体。微元体力：径向：Mr、Mr+（dMr/dr）dr周向：Mθ、Mθ横向剪力：Qr、Qr+（dQr/dr）dr微元体外力：上表面1、平衡方程微体力与外力对圆柱面切线T的力矩代数和为零，即ΣMT=0（2-54）（圆平板在轴对称载荷下的平衡方程）2、几何协调方程(W~ε)取，径向截面上与中面相距为z，半径为r与两点A与B构成的微段板变形后：微段的径向应变为（第2假设）过A点的周向应变为（第1假设）作为小挠度，带入以上两式，得应变与挠度关系的几何方程：（2-55）3、物理方程根据第3个假设，圆平板弯曲后，其上任意一点

5、均处于两向应力状态。由广义虎克定律可得圆板物理方程为：（2-56）4、圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程(2-55)代入(2-56)式：（2-57）通过圆板截面上弯矩与应力的关系，将弯矩和表示成的形式。由式（2-57）可见，和沿着厚度(即z方向)均为线性分布，图2-31中所示为径向应力的分布图。图2-31圆平板内的应力与内力之间的关系、的线性分布力系便组成弯矩、。单位长度上的径向弯矩为：（2-58a）同理（2-58b）参照38页壳体的抗弯刚度，——“抗弯刚度”与圆板的几何尺寸及材料性能有关(2-58)代入(2-57)，得弯矩和应力的关系式为：（2-5

6、9）(2-58)代入平衡方程(2-54)，得：即：受轴对称横向载荷圆形薄板小挠度弯曲微分方程：（2-60）Qr值可依不同载荷情况用静力法求得3.4.3圆平板中的应力（圆平板轴对称弯曲的小挠度微分方程的应用）承受均布载荷时圆平板中的应力：①简支②固支承受集中载荷时圆平板中的应力图2-32均布载荷作用时圆板内Qr的确定一、承受均布载荷时圆平板中的应力据图2-32，可确定作用在半径为r的圆柱截面上的剪力，即：代入2-60式中，得均布载荷作用下圆平板弯曲微分方程为：对r连续两次积分得到挠曲面在半径方向的斜率：（2-61）对r连续三次积分，得到中面在弯曲后的

7、挠度。（2-62）C1、C2、C3均为积分常数。对于圆平板在板中心处（r=0）挠曲面之斜率与挠度均为有限值，因而要求积分常数C2＝0，于是上述方程改写为：（2-63）式中C1、C3由边界条件确定。下面讨论两种典型支承情况(两种边界条件)①周边固支圆平板②周边简支圆平板周边固支圆平板周边简支圆平板图2-33承受均布横向载荷的圆板1、周边固支圆平板：（在支承处不允许有挠度和转角）周边固支圆平板将上述边界条件代入式（2-63），解得积分常数：代入式（2-63）得周边固支平板的斜率和挠度方程：（2-64）将挠度w对r的一阶导数和二阶导数代入式（2-58），

8、便得固支条件下的周边固支圆平板弯矩表达式：（2-65）由此（代入2-59）弯曲应力计算试，可得r处上、下板面的应力表达式：