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《矩形薄板弹性弯曲问题的一般解析解法》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、,应用数学和力学第8卷第8期(1987年8月、应用数学和力学编委会编AppliedMathematiesandMeehanies贡庆出版社出版矩形薄板弹性弯曲问题的一般解析解法’黄炎,(国防科技大学1986年2月13日收到)摘要本文对求解矩形薄板弹性弯曲问题采用先建立微分方程的一般解,然后根据问题的边界条件确定,.积分常数这样求解比采用迭加法求解要简单容易一、基本方程的解1,〔’〕如图所示矩形薄板弹性弯曲的基本方程为_口4田a4叨日4功a_+2“+‘一(11)种叙饰而=力当四边为简支时可取双正弦
2、级数解b..一l二=习习Aosina二sin刀夕(12)__--式中!__一一月_r.0aJ,r任月lqsina二sin刀ydxd夕。0..1ADab(aZ+2):(13)图刀泞己汀,,.U二一气阴=2⋯。)(14)“0”汀.一,,一25)尸二石叨=⋯o)(1当两对边为简支时可得单正弦级数解。=万(A.eosha夕+Bosinha夕+C.a夕sinha夕+D.a夕eosha夕)sinax(1.6).1:,.等式(1)也可取其他形式的解余弦级数多项式或其他函数对于各种不同边界条,.,虽然可〔“3J
3、,件的问题以采用迭加法但求解过程十分复杂.,,本文建议先建立方程(11)的一般解然后根据边界条件确定积分常数并取为。=习〔A.sinha(b一夕)+B.sinha夕+Coa,eoslia(b一夕)+D.a夕eosha夕〕sina二/sinhabosna,sn二,二eosa,eossnsna+习仁Eih刀(一二)+Fih刀+G刀h刀(一二)+万你h脚〕i刀g/ih刀..钱伟长推荐.1983年5月3旧第一次收到689黄炎%,_._,_,_夕x夕扩犷宁“。。一“,。石一十“。,一6十“,,a石十“,。
4、云2一十“。Zb“xZ._x2._x3._3,_%s._x夕3“yg夕,二.下uZ‘2下u“,““0‘甲“03‘甲“3‘3甲“‘“3,切,(17)五左毛护云b毛b-石6..。,.、为等式(11)的任一特解本文取等式(12)1.6)和1.7)的第一,一是在等式(.一将等式(等式(部分比较有两点不同17)中多了除sa,,+;数inhb这可使积分常数的系数均变化在〔一11口中而不致变成很大的数二是改用s.inha(b一夕)来代替cosha夕避免了a厉良大时积分常数A。和B。接近相同等式1.7)的第一部
5、分可满足夕二o和夕=b两个边为任意边界条件,x二o(第二部分可满足。.,和x一两个边为任意边界条件此外必须补充一多项式来满足角点的边界条件其中前四项可满足四个角点的挠度条件,后八项可满足四个角点每两边的弯矩条件.采用等式(1.2)作,.特解虽然收敛差但可通过数学演算来改善收敛速度二、边界条件.14,.等式(7)共有m+4n+12个积分常数这可由边界条件来确定其中每个边有二个边:,.界条件即挠度或等效剪力斜度或弯矩均应分别等于边界的已知值在每个边界条件所建,m十4。.立的方程式中将非正弦函数均展成
6、正弦级数根据正交性可得到4个方程式另外每个角:,,有三个角点条件即挠度或反力角的两边的斜度或弯矩应分别等于相应的已知值故又.4..有x3个方程式因此可以求解全部积分常数等式(17)中的函数可展成如下的正弦级数1一又2(1一Cosm“)sina,.(21)不rn兀xaZCOS阴汀.扩护a3习乏万。.1rrl.LSlna劣(22)一一l怜沼汀ZCOS阴汀+4‘王一CoS).断51na义(23)m兀(切方、3ZCOS阴汀12Cosm兀S‘n“‘.’-(24)一又而元)〕5inh刀(a一二)丁,。2、=
7、习.;件Slna火(25)snaih~一刀丽“La十P)sinh刀二一~一习.妙毕孕嘿5Ina劣(26)5na一ih刀石“a一iL十尸户eosa二aeos、h刀(一)2刀刀m二产、.口.二叉Z2a”‘”(27)刀sinh刀aa+刀sinha一一(a+尸)一“刀2‘h·刀一一、一刀刀2仪eos仇兀.军(一z么Slna戈(28)黑箭)a(a+)耳刀三、例.以两相邻边固定两相邻边自由的矩形板为例,如图2所示边界条件和角点条件是(功),_.=0(3.1)知形薄板弹性弯曲问题的一般解析解祛691。(尝)一
8、一”(3.2)一/口2口Zw’叨.,‘尸”)(M‘·“2V巧3)‘奋二一口J无十万l=U(3气口一,·a夕/‘’“口3田口3田〕.二。一(犷)+(“一,),.。”(34)一〔a%,万牙百了」=.__a_.‘.扫—(w),.。=0(35),~”(.6)一(器)一3十,,.。一”.(M,)卜b=一D(守鄂)(37)(犷,),D+(·)口3切,1.1.8)卜么一n(3〔令axa夕b一..叨‘o,o)(39)=0一‘。,。)一0(.10)(骼)3(。,。)(会)一。(3.11).(。,o)12)田=0
