弹性薄板的小挠度弯曲

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1、第五章薄板的小挠度弯曲板是工程中常用的构件，当外荷载作用方向平行于板面且沿板厚均匀分布且不发生失稳现象时，可以处理为平面应力问题；当外荷载作用方向垂直于板面时，则属于弹性力学的空间问题。由于数学上处理空间问题的复杂性，要求得满足全部基本方程和边界条件的精确解非常困难，这就需要引入简化计算的近似假设。下面将通过引入这样的近似假设，建立薄板弯曲问题的基本方程和基本关系式以及各种支承情况下的边界条件，并讨论几种常用的薄板弯曲问题。第五章薄板的小挠度弯曲§5-1基本概念与计算假定§5-2薄板内力§5-3薄板弯曲的基本方程§5-4边界条件§5-5四边简支矩形薄板

2、的重三角级数解(Navier解)§5-6矩形薄板的三角级数解(Levy解)§5-7圆形薄板的弯曲§5-1基本概念与计算假定板、板面、板边、板厚薄膜薄板：当板厚与板面内最小特征尺寸之比在1/80～1/5之间时厚板挠度小挠度问题：挠度与板厚之比小于或等于1/5大挠度问题基尔霍夫假设（1）直法线假设（2）σz引起的变形略去不计（3）中面内各点只有垂直位移w基尔霍夫假设（1）变形前垂直于薄板中面的直线段（法线）在变形后仍保持为直线，并垂直于变形后的中面，且其长度不变，称为直法线假设，它与材料力学中梁弯曲问题的平面假设相似。若将板中面作为xOy坐标面，z轴垂直向

3、下，则根据此假设，有εz=0和γxz=γyz=0。基尔霍夫假设（2）与σx，σy，τxy等相比，σz很小，在计算变形时可以略去不计。（3）薄板中面内各点只有垂直位移w而无x方向和y方向的位移，即（u）z=0=0，（v）z=0=0，（w）z=0=w（x,y）根据这个假设，中面内的应变分量εx，εy和γxy均等于零，即在中面内无应变发生。中面内的位移函数w（x,y）称为挠度函数。在上述假设基础上建立起来的弹性薄板的小挠度理论，属于薄板弯曲的经典理论，它在许多工程问题的分析计算中，已得到广泛的应用。§5-2薄板内力根据§5-1中的三个基本假设，利用弹性力学的

4、平衡微分方程、几何方程和物理方程，可以将薄板内任一点的位移分量、应变分量、应力分量和板横截面上的内力，都用挠度w来表示。下面就来建立这些基本关系式。一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式二、薄板中的应力分量表示式三、薄板横截面上的内力表示式一、薄板中的位移分量和应变分量的表示式（a）根据上述第一假设，由几何方程知（a）式成立.由式（a）的第三式可知，在板内所有的点，位移分量w只是x和y的函数而与z无关，故板内各点的位移分量w沿厚度方向是相同的。再由式（a）的第五、第六式，有由第三个假设：（u）z=0=0和（v）z=0=0可知，f1(x,y)=f2(x,

5、y)=0，于是有（5-1）（5-1）式（5-1）表示，薄板内坐标为（x,y,z）的任一点，分别在x和y方向的位移沿板厚方向呈线性分布，中面处位移为零，在上、下表面处位移最大。利用式（a）的第一、第二和第四式，得应变分量的表示式由此可见，应变分量εx,εy,γxy也是沿板厚呈线性分布，在中面为零，在上、下板面处达极值。（5-2）二、薄板中的应力分量表示式根据上述的第一个和第二个假设，物理方程简化为这是薄板小挠度弯曲时，主要应力σx，σy和τxy与挠度w的关系式。可见它们沿板的厚度也是呈线性分布，其在中面上为零，在上、下板面处达到极值。（5-3）次要应力分

6、量按假设，σz，τxz和τyz应为零，实际上，它们只是远小于σx，σy和τxy的次要的应力分量，对于它们所引起的变形可略去不计，但对于维持平衡，它们不能不计。为了求得它们，现考虑不计体力的平衡微分方程：如体力分量FZ及下表面上的面力不等于零，对簿板来说，可以归入板上表面的面力，这样处理只会影响次要应力σz，于是板上、下表面的静力边界条件为：这里q为薄板单位面积内的横向荷载。：（d）（c）（5-4）（5-5）式（5-4）就是切应力τxz和τyz与挠度w的关系式，它们表明，剪应力τxz和τyz沿板厚方向呈抛物线分布，在中面处达最大值，这也与梁弯曲时剪应力沿

7、梁高方向的变化规律相同。σz沿板厚呈三次抛物线规律分布（图5-2）。将式（5-3）代入方程（c），经积分后，利用边界条件（d）的前三式，不难得到以下结果:三、薄板横截面上的内力表示式下面要建立这些合成内力与挠度之间的关系。阴影微分面单位宽度上的正应力和切应力的主矢量分别为σxdz，σydz和τxy=τyxdz。由于σx，σy，τxy=τyx沿板厚按线性规律分布，以及分布的反对特性，所以，它们在板的全厚度上的主矢量为零。构成力偶，Mx，My，Mxy和Myx表示它们在单位宽度内的力偶矩称为板的抗弯刚度，其意义和梁的抗弯刚度相似。横向剪力切应力分量只可能合成

8、横向剪力，在每单位宽度上分别为应力分量又可通过相应的内力表示与材料力学中梁的弯曲应力和横向切应