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3、等比数列第一课时等比数列的概念及通项公式课前自主学习，基稳才能楼高—预习课本P49〜53,思考并完成以下问题(1)等比数列的定义是什么？它和等差数列有什么不同?⑵等比数列的通项公式怎样表述?⑶怎样证明一个数列是等比数列?［新扣刼援］1.等比数列一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于回二个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比.通常用字母么表示.［点睛］(1)“从第二项起”，也就是说等比数列中至少含有三项；(2)“每一项与它的前一项的比”不可理解为
4、“每相邻两项的比”；(3)“同一常数g”，g是等比数列的公比，即q=皿亂q=警.特别注意，g不可以为础一1un零，当q=l时，等比数列为常数列，非零的常数列是特殊的等比数列.2.等比数列的通项公式首项是如，公比是a的等比数列⑺八的通项公式为範=匹严・［点睛］(1)在已知首项a】和公比g的前提下，利用通项公式知=血广'可求出等比数列中的任一项；(2)等比数列仙｝的通项公式an=aiqn~可改写为an=^-qn・当g>0且狞1时，这是指数型函数.［小试身手］1.若等比数列的前三项分别为5,—15,4
5、5,则第5项是・解析：而山=5,q=—3,•：a5=405・答案：4052.已知等比数列｛a“｝中，«i=32,公比q=—y则心=・解析：由题知心=荷=32X(—芬=—1.答案：-13.已知数列a,a(l-a)ra(l—a)2,…是等比数列，则实数a的取值范围是解析：若数列｛给｝是等比数列，则数列中a”H0,即aHl且aH0・答案：aHO且aHl4.已知｛a“｝是等比数列，°2=2,°5=玄，贝!)公比g=・解析：由题意知：:•q=q.答案：I课堂讲练设计，举-能通类题・等比数列的通项公式［典例］
6、已知仙｝为等比数列，如=2,a2+a4=f,求仏｝的通项公式.［解］设等比数列｛為｝的公比为g,则狞0,(i2_q_q,a4_a3q_2q,220i••・°+2g=~y,解得4=3或q=3・当g=g时，ai=18,此时a”=18x®"T=2x3»";当g=3时,2-92此时a“=fx3"T=2x3"T・等比数列通项公式的求法(1)根据已知条件，建立关于如，g的方程组，求出如，g后再求為，这是常规方法.(2)充分利用各项之间的关系，直接求出g后，再求如，最后求a“，这种方法带有一定的技巧性，能简化运
7、算.［活学活用］1.在等比数列｛a“｝中，若如=占，07=27,试求a“・解：由d7=di?6，得27=厉・『・:.q(,=272=36.：.q=±3・当q=3时，对=如于"=寺X3”t=3”Y当q=_3时，a“=aig"T=^X(-3)"T=一(一3)P(—3)”t=一(一3严・故為=3"一“或砒=一(一3)”t.2.在等比数列｛為｝中，已知旳+。6=36,0
8、+。7=18,。“=¥，求〃.解：法一:V«3+«6=36,心+。7=18,心『+心孑=18,法二：Va4++a6q=q(a3+a6),
9、而a3+a(=a3(A+q3),・・・"3=警扌=注=32・】十g*•*(iH=',••迈=32X',•*•兀=9・［题型二V等比数列的判断与证明［典例］(1)若数列S”｝的前n项和为S”，且an=2Sn-3f则｛如的通项公式是.(2)已知等比数列佃｝的通项公式a”=3・g)”T,且九=如”-2+血厂1+心”，求证｛加成等比数列.［解］⑴由a“=2S“一3得a“_i=2S“_i—3仇$2),两式相减得an—an-=2an(n2),：・a“=一a”-15N2),严=—l(nM2).«M~1故｛a“
10、｝是公比为一1的等比数列，令/I=1得(i=2a1—3,・；a1=3,故砒=3•(—1)"一［答案］对=3•(-1)"】(2)证明：・・・心=3份匕3h—33/t-l•••警令当n=l时21211方】=于，・・・血｝是以亍为首项，公比为点的等比数列.类题▲通法判断或证明数列为等比数列常用的方法⑴定义法：十=q(q为常数且？工0)等价于｛砒｝是等比数列.(2)通项公式法：给=血/7(山工0且？工0)等价于｛如是等比数列.［活学活用］已知数列仏啲前/I项和为S”，SH=l(aH-l)(weN*).
11、⑴求如，a2;(2)求证：数列仏｝是等比数列.解：⑴由Si=
12、(ai—1)，得血=扣1一1),・°一一丄••cii—2*又S2=3(d2—1),即。1+。2=3(42—1),得。2=孑(2)证明：当心2时，a“=S“一S“_i=*a“1-31-y所以｛心｝是首项为一土公比为一扌的等比数列.题型三一題多法年®7路转巧设项计算等比数列问题［典例］已知三个数成等比数列，它们的积为27,它们的平方和为91,求这三个数.［解］［法一利用通项公式设项］设这三个数依次为a,aq,aq29(va
