高中数学《等比数列》教案5 苏教版必修5

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1、等比数列的概念与通项公式教学目标1.理解等比数列的概念,能用定义判断一个数列是否为等差数列;2.了解等比数列的推导方法;3.掌握等比数列的通项公式,并能用公式解决一些简单的问题.教学重点等比数列的概念(q为常数);通项公式:.教学难点等比数列的递推公式与通项公式的转化.教学过程复习回顾前面我们共同探讨了等差数列,现在我们再来回顾一下主要内容.①等差数列定义:(n≥2).②等差数列性质:(1)a,A,b成等差数列,由;(2)若m+n=p+q,则am+an=ap+aq.③等差数列求和公式:.问题情境数列:1,3,5,7,…,2

2、n-1,…2,-1,-4,…,-3n+5,…1,1,1,…,1,…这些数列均为等差数列,满足an-an-1=d(n≥2).我们来观察下列几个数列,看其又有何共同特点?1,2,4,8,16,…263;①5,25,125,625,…;②1,;③是等差数列吗?如果不是,你能试着总结这些数列的特点吗?特点:对于数列①,,(n≥2);对于数列②,,(n≥2);对于数列③,,(n≥2).共同特点:从第二项起,第一项与前一项的比都等于同一个常数.也就是说,这些数列从第二项起,每一项与前一项的比都具有“相等”的特点.数学理论1.等比数列定

3、义一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q表示(q≠0),即:(n≥2).前面我们观察的数列①,②,③都是等比数列,它们的公比依次是2,5,.那么数列1,1,1,…,1,…呢?*说明:(1)“从第2项起”,各项均满足;(2)次序,后项比前项:=q,n≥2,或=q;(3)q为常数,体现“等”比;(4)由递推公式,an≠0,且q≠0;an+1=an·q;(5)非零常数列既是等差数列,也是等比数列.例1判断下列各数列是否为等比数

4、列?如果是,请写出公比:(1)-1,-5,-25,-125;(2)0,1,2,4,8;(3)1,-,,-,;(4)a,a,a,a,a.解:(1)该数列是等比数列,q=5.(2)该数列不是等比数列.(3)该数列是等比数列,q=-.(4)当a=0时,该数列不是等比数列;当a≠0时,该数列是等比数列,公比q=1.例2求下列等比数列中的未知项:(1)2,a,8;(2)-4,b,c,.解:(1)由题意,得=,Þa2=16,故a=±4.(2)由题意,得==,Þb2=-4c,b=2c2,解得b=2,c=-1.推广:如果A,B,C三个数成

5、等比数列,那么B2=AC,我们把B叫做A,C的等比中项.注意(1)与等差中项不同的是同号两数才有等比中项;等比中项有两个.当,时,也叫做,的几何平均数.(2)对于公比为的无穷等比数列,如果≥2是其中除第1项以外的任意一项,那么它的前一项是,后一项是,由可知,是它的前一项与后一项的等比中项.事实上等比数列中的任意一项都是它的前后等距离的项的等比中项.练习:(1)2与4的等比中项是_____;(-3)2与(-3)-6的等比中项是______.2.等比数列的通项公式例已知等比数列{an}的首项a1=3,q=2,求a10.若根据递

6、推公式则需求出前9项,则需探求通项公式.此数列的前几项依次为:3,6,12,24,48,利用观察法可得an=3×2n-1,但需证明是否各项均满足.证法一:对等比数列{an},若首项为a1,公比为q,则=q,=q,=q,…,=q,=q.将这n-1个式子左右两边分别相乘,得=qn-1,故an=a1·qn-1.当n=1时,上述等式也成立.证法二:或者由定义得:;;;……n=1时,等式也成立,即对一切成立.等比数列的通项公式沟通了a1,an,n与q之间的联系.如:数列①,(n≤64),表示这个等比数列的各点都在函数的图象上.如图所

7、示.数学应用例3已知在等比数列{an}中,首项a1=3,q=-2,求通项公式an及a6;解an=3×(-2)n-1,a6=3×(-2)6-1=-96.例4已知在等比数列{an}中,a3=20,a6=160,求通项公式an.解由题意,a3=a1·q2=20,a6=a1·q5=160,解得q=2,a1=5,故an=5×2n-1.或解a6=a3·q3,即160=20q3,解得q=2.故an=a3×2n-3=20×2n-3=5×2n-1.推广的等比数列通项公式an=am·qn-m.从函数的角度看等比数列的通项公式,根据首项和公比的

8、不同取值,考察等比数列中各项的变化特点.尤其对于q<0时的等比数列,为摆动数列,相邻两项符号相反,但间隔的两项一定同号.例5一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18,求它的第1项与第2项.解设这个等比数列的第1项是,公比是q,那么,①,②由②÷①可得第,③把③代入①可得.∴.∴这个数列的第1项与第2

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