高中数学《等比数列》教案5 苏教版必修5

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1、等比数列的概念与通项公式教学目标1．理解等比数列的概念，能用定义判断一个数列是否为等差数列；2．了解等比数列的推导方法；3．掌握等比数列的通项公式，并能用公式解决一些简单的问题．教学重点等比数列的概念（q为常数）；通项公式：．教学难点等比数列的递推公式与通项公式的转化．教学过程复习回顾前面我们共同探讨了等差数列，现在我们再来回顾一下主要内容．①等差数列定义：（n≥2）．②等差数列性质：（1）a，A，b成等差数列，由；（2）若m+n=p+q，则am+an=ap+aq．③等差数列求和公式：．问题情境数列：1，3，5，7，…，2

2、n－1，…2，－1，－4，…，－3n＋5，…1，1，1，…，1，…这些数列均为等差数列，满足an－an－1＝d(n≥2)．我们来观察下列几个数列，看其又有何共同特点？1，2，4，8，16，…263；①5，25，125，625，…；②1，；③是等差数列吗？如果不是，你能试着总结这些数列的特点吗？特点：对于数列①，，（n≥2）；对于数列②，，（n≥2）；对于数列③，，（n≥2）．共同特点：从第二项起，第一项与前一项的比都等于同一个常数．也就是说，这些数列从第二项起，每一项与前一项的比都具有“相等”的特点．数学理论1．等比数列定

3、义一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q≠0），即：（n≥2）．前面我们观察的数列①，②，③都是等比数列，它们的公比依次是2，5，.那么数列1，1，1，…，1，…呢？*说明：（1）“从第2项起”，各项均满足；（2）次序，后项比前项：＝q，n≥2，或＝q；（3）q为常数，体现“等”比；（4）由递推公式，an≠0，且q≠0；an＋1＝an·q；（5）非零常数列既是等差数列，也是等比数列．例1判断下列各数列是否为等比数

4、列？如果是，请写出公比：(1)－1，－5，－25，－125；(2)0，1，2，4，8；(3)1，－，，－，；(4)a，a，a，a，a．解：(1)该数列是等比数列，q＝5．(2)该数列不是等比数列．(3)该数列是等比数列，q＝－．(4)当a＝0时，该数列不是等比数列；当a≠0时，该数列是等比数列，公比q＝1．例2求下列等比数列中的未知项：(1)2，a，8；(2)－4，b，c，．解：(1)由题意，得＝，Þa2＝16，故a＝±4．(2)由题意，得＝＝，Þb2＝－4c，b＝2c2，解得b＝2，c＝－1．推广：如果A，B，C三个数成

5、等比数列，那么B2＝AC，我们把B叫做A，C的等比中项．注意（1）与等差中项不同的是同号两数才有等比中项；等比中项有两个．当，时，也叫做，的几何平均数．（2）对于公比为的无穷等比数列，如果≥2是其中除第1项以外的任意一项，那么它的前一项是，后一项是，由可知，是它的前一项与后一项的等比中项．事实上等比数列中的任意一项都是它的前后等距离的项的等比中项．练习：(1)2与4的等比中项是_____；(－3)2与(－3)－6的等比中项是______．2．等比数列的通项公式例已知等比数列｛an｝的首项a1＝3，q＝2，求a10．若根据递

6、推公式则需求出前9项，则需探求通项公式．此数列的前几项依次为：3，6，12，24，48，利用观察法可得an＝3×2n－1，但需证明是否各项均满足．证法一：对等比数列｛an｝，若首项为a1，公比为q，则＝q，＝q，＝q，…，＝q，＝q．将这n－1个式子左右两边分别相乘，得＝qn－1，故an＝a1·qn－1．当n＝1时，上述等式也成立．证法二：或者由定义得：；；；……n=1时，等式也成立，即对一切成立．等比数列的通项公式沟通了a1，an，n与q之间的联系．如：数列①，（n≤64），表示这个等比数列的各点都在函数的图象上.如图所

7、示．数学应用例3已知在等比数列｛an｝中，首项a1＝3，q＝－2，求通项公式an及a6；解an＝3×(－2)n－1，a6＝3×(－2)6－1＝－96．例4已知在等比数列｛an｝中，a3＝20，a6＝160，求通项公式an．解由题意，a3＝a1·q2＝20，a6＝a1·q5＝160，解得q＝2，a1＝5，故an＝5×2n－1．或解a6＝a3·q3，即160＝20q3，解得q=2．故an＝a3×2n－3＝20×2n－3＝5×2n－1．推广的等比数列通项公式an＝am·qn－m．从函数的角度看等比数列的通项公式，根据首项和公比的

8、不同取值，考察等比数列中各项的变化特点．尤其对于q＜0时的等比数列，为摆动数列，相邻两项符号相反，但间隔的两项一定同号．例5一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，求它的第1项与第2项．解设这个等比数列的第1项是，公比是q，那么，①，②由②÷①可得第，③把③代入①可得．∴．∴这个数列的第1项与第2