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1、编号:08005110218南阳师范学院2012届毕业生毕业论文（设计）题B：宀兀成人:班级:学制:专业:指导教师:完成日期:浅谈矩阵的分解及应用XXXX2008-024年数学与应用数学XXXXX2012-03-31摘要(1)0引言(1)1矩阵的秩分解(2)1.1矩阵的满秩分解的基本概念与定理⑵1・2矩阵的一般秩分解⑶2矩阵的Q/?分解⑷2.1矩阵的0?基本概念与定理⑷2.2矩阵0/?分解的常用方法⑺3矩阵特征值分解(8)4矩阵的和分解(10)4.1矩阵的和分解(10)(11)(11)(21)4.2积分解5矩阵分解的实
2、例应用6总结7致谢(21)参考文献(22)(22)Abstract浅谈矩阵的分解与应用作者：XXX指导教师：王骁力摘要：矩阵是数学研究屮一类重要的工具之一，有着非常广泛的应用，炬阵分解对炬阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用.本文从矩阵的秩分解、矩阵的QR分解、矩阵的特征值分解以及短阵的和积分解四个方面对矩阵分解方法进行了论述，给岀了炬阵分解的几种方法.并以一•些具体的例子来说明矩阵分解在实际应用中的重要性.关键词：矩阵分解；秩分解；0/?分解；特征值分解；和积分解；应用0引言矩阵分解是指将一个矩阵表示为结构简单或具
3、有特殊性质若干矩阵之积或之和，大体分为秩分解、0?分解、特征值分解以及和积分解等儿种.矩阵的分解是很重要的一部分内容，在线性代数中时常用来解决各种复杂的问题，在各个不同的专业领域也有重要的作用.本文从矩阵的秩分解、矩阵的0?分解、矩阵的特征值分解以及矩阵的和积分解等角度探讨矩阵的分解方法，将矩阵分解为形式比较简单或性质比较熟悉的一些矩阵的和或乘积•这样就能够明显地反映出原矩阵的许多数值特征,如矩阵的秩、行列式、特征值及奇异值等.另一方面，构造分解式的方法和过程也能够为某些数值计算方法的建立提供理论依据.1矩阵的秩分解1
4、.1矩阵的满秩分解基本概念与定理定义1・1同若矩阵A的行(列)向量线性无关，则称A为行(列)满秩矩阵.定义1・2同设A是秩为r(r>0)的加xai矩阵,若存在w列满秩矩阵F和rxn行满秩矩阵G,使得A=FG(2.1)则称(2.1)式为矩阵A的满秩分解.定义1・3円设H是mxn的矩阵，s认(//)=厂，满足DH的前「行屮每一行至少含有一个非零元素，且每行第一个非零元素是1,而后加-厂行元素均为0;2)设H中的第"亍的第一个非零元素1位于第Z(心12・・・,厂)列，有丿]<丿2<•••"；3）h的第Z，丿2，…，丿;列构成
5、加阶单位矩阵/的前I•列.则称//为A的Hermite标准型.定理1・1设A为任一秩为r的加"矩阵，则A必有满秩分解式A=FG,苴中F为列满秩的，G为行满秩的.证明因为A的秩为厂，所以存在m阶可逆矩阵P和〃阶可逆矩阵。，使得（Er0）PAQ=rI。0丿（F、若令F=H（,G=（E0）0'则F为加X”列满秩矩阵，G为厂X”行满秩、（F、Q-]=Plr（ErO）Q]=G.结论成立.丿I。丿(2.2)若记尸二他，S…，务），GT=（Z?„02，…，几）则有A=FG=a}/3^+a2/3^+…+a£这里（2.2）式也是4的满秩
6、分解的一种表示.定理1.2任何非零矩阵AeP-都存在满秩分解.证明设r（A）=r>0.则可通过初等变换将A化为阶梯形矩阵3,即行（厂、弋，GeP-且厂（G）=r・于是存在有限个加阶初等矩阵的乘积P,使(G、得心或者A=PlB・于是A二P"B二P"W丿将厂作相应的分块，P"=（FS）,FgPmxn,SgPmy（n~r}.则有(G、A=p^]B=(FS)=F・G+S・O=FG・l丿(0丿其屮F为列满秩矩阵,G为行满秩矩阵.由于初等行变换有三种变换：1、调换两行;2、某一行乘以一个非零常数;3、某一行乘以一个非零常数加到另一
7、行.实际上只用第三种初等变换方法就可以将其化为阶梯形.值得指出的是,A的满秩分解式为（2.1）与（2.2）并不是惟一的.现对任一厂阶可逆方阵H,总A=FG=(FH)(HlG)=FG(2.3)成立，且戶,G分别为加xr列满秩矩阵与小〃行满秩矩阵.因而(2.3)式也是A的一个满秩分解式.定理1.3[5]设AwCQ,且A=BC=BC均为A的满秩分解,则1)存在矩阵QwCT，使得B“Q,C=Q弋;2)CH(CC")J(B〃B)Jbh=ch(ccli)_，1Bh•定理1・4同设A是wx〃的矩阵，rank[H)=r>0,其Herm
8、ite标准型为//,则在A的满秩分解中，可取F为由A的j,j2，・・・,j「列构成的加"的矩阵，G为H的前r行构成的厂“的矩阵.定理1・5〔习矩阵满秩分解的存在性定理1)设仁C阳(r>0)，则使用初等行变换可将A化为Hermite标准型；2)设A6C；MXH(r>0),则存在FgC；,xr和GwC；x”,使得心FG・1.2矩阵的
