《矩阵分解及应用》word版

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1、引言数学是人类历史中发展最早，也是发展最为庞大的基础学科。许多人说数学是万理之源，因为许多学科的研究都是以数学做为基础，有了数学的夯实基础，人类才铸就起了众多学科的高楼大厦，所以数学的研究和发展一直在不断的发展壮大。在数学中有一支耀眼的分支，那就是矩阵。在古今矩阵的研究发展长河中产生了许多闪耀星河的大家。英国数学大家詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特，一个数学狂人，正是他的孜孜不倦的研究使得矩阵理论正式被确立并开启了矩阵发展的快速发展通道。凯莱和西尔维斯特是非常要好的朋友，他也是一位非常伟大的数学大师，正是他们伟大的友

2、谊，加上两人的齐心协力最后他们共同发展了行列式和矩阵的理论。后来高斯在矩阵方面的研究取得重要的成就，尤其是高斯消去法的确立，加速了矩阵理论的完善和发展。而在我国，矩阵的概念古已有之。从最早的数学大家刘徽开始我们古代数学大家都已或多或少的研究了矩阵。尤其在数学大家刘徽写的《九章算术》中，它最早提出了矩阵的类似定义。而且是将矩阵的类似定义用在了解决遍乘直除问题里了。这已经开始孕育出了最早的矩阵形式。随着时间转移，矩阵的理论不断的完善，在对于那些大型矩阵的计算中如果用基本方法显得过于繁重，于是发展出了矩阵的分解，随着

3、对矩阵分解的不断研究完善，矩阵分解方法和理论也日趋成熟矩阵经常被当做是数学工具，因为在数学问题中要经常用上矩阵的知识。矩阵是一个表格，要掌握其运算法则，作为表格的运算与数的运算既有联系又有差别，在所有矩阵的运算方法中，矩阵的分解是他们中一种最重要并且也是应用最广泛。矩阵分解主要是对高斯消去法的延续和拓展。在一些大型的矩阵计算中，其计算量大，化简繁杂，使得计算非常复杂。如果运用矩阵的分解，将那些大型矩阵分解成简单的矩阵的乘积形式，则可大大降低计算的难度以及计算量。这就是矩阵分解的主要目的。而且对于矩阵的秩的问题，

4、特征值的问题，行列式的问题等等，通过矩阵的分解后都可以清楚明晰的反应出来。就连矩阵的奇异性也显而易见。在另一方面,对于哪些大型的数值计算问题，矩阵的分解方式以及分解过程也可以作为其计算的理论依据。第一章矩阵的基本知识储备矩阵的知识体系涉及的知识多而且琐碎，所以先对其整体知识性构建基本的知识体系。即首先对矩阵的基本知识进行储备。所以本文将首先进行基本知识的总结和概述。1.1矩阵的基本知识定义：由个数（）排成的行列的数表：上面式子也可写为：这个所述的个数也称之为矩阵A的元素，即简称它是元。实矩阵：指的是元素全是实数

5、的矩阵。同理知道复矩阵即为元素是复数的矩阵。下面所述几种比较特殊的矩阵：（1）方阵指的是行数和列数相等的矩阵。简记。（2）行向量：。（3）列向量：。（4）对角矩阵（对角阵）。把它记做是：。（5）元素全是0的矩阵叫做零矩阵。（6）对于主对线的左下方，如果其元素都是0，则称它是上三角矩阵，否则称作是下三角矩阵。例如：（8）对角矩阵中元素都为1的对角阵叫做是对角方阵。1.2：可逆矩阵（非奇异方阵）的定义可逆矩阵的定义和线性代数是紧密联系在一起的，即给定一个方阵A，它是n阶方阵，如果存在和A同为n阶的方阵B，使得（或中

6、总有一个成立），E指的是阶数为n的单位矩阵，那么A就是可逆矩阵，B则叫做A的逆矩阵，即。方阵A的逆矩阵如果是存在的话，把矩阵A称作是非奇异方阵或者是可逆方阵也可以是满秩矩阵。如果,那么矩阵A通常被称作是奇异矩阵（降秩矩阵）。对于矩阵A，如果他不是满秩的矩阵，也就是它的行列式的值是不等于零的，即满足条件：︱A︱≠0。那么A则必定是可逆的。上面叙述的性质也是我们在学习中经常用于判断矩阵可逆的充分必要的条件。而对于下面叙述的条件是与上述判断矩阵可逆的条件是等价的：（1）矩阵A是可逆的的矩阵。（2）A的行列式不为零。(

7、3)A的秩等于n（即矩阵A是满秩矩阵）。(4）A等价于单位矩阵E(5）A仅仅用初等行变换就可以化成单位矩阵E1.3：共轭转置的定义。其中表示矩阵i行j列上的元素，表示标量的复共轭。这一定义也可以写作：，其中是矩阵A的转置，表示对矩阵A中的元素取复共轭（）。通常情况下我们用记号或来表示矩阵A的共轭转置。对于，在某种情况下极易混淆，就是在特定情况下表示只对矩阵元素取复共轭，而对矩阵做转置，概念不能混淆。比如，对于矩阵A假如等于如下：那么由上面所述的性质定理可以得到矩阵A的共轭转置：假如矩阵A的元素都是实数，即矩阵A

8、是实矩阵，那么共轭转置矩阵与矩阵A的转置矩阵是相等的。复数的推广中经常用到的是复值方块矩阵，而共轭转置是对共轭复数的推广应用。共轭矩阵的基本性质：(1）如果矩阵A和矩阵B的维数相等，则：。(2），并且其中r是复数，为r的复共轭。(3）对于m行n列的矩阵A以及n行p列矩阵的矩阵B，有。(4）(5）假如A是方阵，那么有，并且有,如果矩阵A可逆，则仅当在矩阵A的共轭转置是可逆矩阵，且满足，.