矩阵的qr分解及应用

《矩阵的qr分解及应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、目录摘要IAbstractI１引言12利用Schmidt正交化求矩阵的QR分解13利用Householder变换求矩阵的QR分解44利用Givens变换求矩阵的QR分解75利用初等变换求矩阵的QR分解106　矩阵QR分解的应用12参考文献13结束语13致谢14论文写作指导：QQ625880526论文资源网www.lwenzy.com最专业的毕业论文、设计资源分享、下载平台摘要：矩阵是数学研究中一类重要的工具之一，有着非常广泛的应用，矩阵分解对矩阵理论及近代计算数学的发展起了关键作用．矩阵的QR分解可以利用Schmidt正交化、Hous

2、eholder矩阵变换、Givens矩阵变换以及矩阵的初等变换等方法进行．本文给出了这几种方法的证明及简单的应用．关键词：QR分解;Schmidt正交化、Householder矩阵变换、Givens矩阵变换、初等变换．　　Abstract：Thematrixisaimportanttoolinclassofmathematicalresearch,andithasaverywiderangeofapplicationsplaysakeyroleinmatrixtheoryanddevelopmentofmoderncomputatio

3、nalmathematics.ThemethodsofmatrixQRdecomposehavesuchasSchmidtorthogonalizationmethod,Householdermatrixtransformation,Givensmatrixtransformationandelementarytransformationtomatrix.inthispaper,theproofofthesemethodsandsimpleapplications.　　Keywords：QRdecompose;　Schmidtorth

4、ogonalization;　Householdermatrixtransformation;　Givensmatrixtransformation;　elementarytransformation论文写作指导：QQ625880526论文资源网www.lwenzy.com最专业的毕业论文、设计资源分享、下载平台1引言　　如果实非奇异矩阵A能够化成正交矩阵Q与实非奇异上三角矩阵R的乘积，即A=QR(1)则称（1）为A的QR分解．　　矩阵的QR分解是一种特殊的三角分解，在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要的作用，而且得到他

5、们的精确解非常重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题．特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解时，故在工程技术上，用QR分解可以得到其在某一精度水平上的近似解．QR分解也是特征值算法及QR算法的基础．下面给出4种求求矩阵QR分解的方法及一个简单的应用，以加强对QR分解思想及方法的深刻理解．2利用Schmidt正交化求矩阵的QR分解　　定理1．1　设，则可以唯一地分解为其中是正交矩阵，是实非奇异上三角矩阵．　　证明　设，则，，，是线性无关的．用Schmidt方法将，，，正交化，得，，．其中，将上式改写为，15，．记，，，．

6、则上述各式可以写成，，．于是．显然，是正交矩阵，是实非奇异上三角矩阵．接下来证明这种分解的唯一性．设有两个分解式：，则．所以，既是正交举证有是实非奇异上三角矩阵，又易知：既是正交举证有是实非奇异上三角矩阵只能是单位矩阵，即有．于是，根据逆矩阵的唯一性知，．　　注　由上述证明过程可得15，其中，．　　例1　试求矩阵的分解．　　解　令，，．经过Schmidt正交化，得，，，令，由注得：则15．　　利用相同的证明思路，定理1可以推广位为列满秩矩阵的情形．定理1．2　设，则可以唯一的分解为．其中是实矩阵，满足，是实非奇异上三角阵，容易看出．3

7、利用Householder变换求矩阵的QR分解　　定义2．1　设且，称为Householder矩阵，由Householder所确定的变换称为Householder变换．　　Householder矩阵有如下性质：（1）（对称矩阵）（2）（正交矩阵）（3）（对合矩阵）（4）（自逆矩阵）（5）是阶Householder矩阵（6）　　定理2．2　设为非零列向量，为单位列向量，则存在Householder矩阵，使得　　证明　当时，取单位列向量满足，则有当时，取则有15．这里利用了等式　　定理2．3　利用Householder变换证明任意都可以进

8、行QR分解．　　证明　将进行列分块，即，由定理知，存在阶Householder矩阵，使得，则式中．再将按列分块，即．同理，有阶Householder矩阵，使得，其中．则有阶Householder矩阵，使得式中：．同理，继