矩阵的qr分解及应用毕业论文

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1、本科毕业论文题目矩阵的QR分解及应用系别数学与信息科学学院专业数学与应用数学指导教师刘熠评阅教师班级2008级3班姓名杨秀忠学号200802411622011年5月16日目录摘要IAbstractI１引言12利用Schmidt正交化求矩阵的QR分解13利用Householder变换求矩阵的QR分解44利用Givens变换求矩阵的QR分解75利用初等变换求矩阵的QR分解106　矩阵QR分解的应用12参考文献13结束语13致谢14摘要：矩阵是数学研究中一类重要的工具之一，有着非常广泛的应用，矩阵分解对矩阵

2、理论及近代计算数学的发展起了关键作用．矩阵的QR分解可以利用Schmidt正交化、Householder矩阵变换、Givens矩阵变换以及矩阵的初等变换等方法进行．本文给出了这几种方法的证明及简单的应用．关键词：QR分解;Schmidt正交化、Householder矩阵变换、Givens矩阵变换、初等变换．　　Abstract：Thematrixisaimportanttoolinclassofmathematicalresearch,andithasaverywiderangeofapplicati

3、onsplaysakeyroleinmatrixtheoryanddevelopmentofmoderncomputationalmathematics.ThemethodsofmatrixQRdecomposehavesuchasSchmidtorthogonalizationmethod,Householdermatrixtransformation,Givensmatrixtransformationandelementarytransformationtomatrix.inthispaper,

4、theproofofthesemethodsandsimpleapplications.　　Keywords：QRdecompose;　Schmidtorthogonalization;　Householdermatrixtransformation;　Givensmatrixtransformation;　elementarytransformation1引言　　如果实非奇异矩阵A能够化成正交矩阵Q与实非奇异上三角矩阵R的乘积，即A=QR(1)则称（1）为A的QR分解．　　矩阵的QR分解是一种特殊的

5、三角分解，在解决矩阵特征值的计算、最小二乘法等问题中起到重要的作用，而且得到他们的精确解非常重要，但其计算一直是很繁琐的数学问题．特别是当矩阵的阶数较高时，计算量非常大，且不易求其精确解时，故在工程技术上，用QR分解可以得到其在某一精度水平上的近似解．QR分解也是特征值算法及QR算法的基础．下面给出4种求求矩阵QR分解的方法及一个简单的应用，以加强对QR分解思想及方法的深刻理解．2利用Schmidt正交化求矩阵的QR分解　　定理1．1　设，则可以唯一地分解为其中是正交矩阵，是实非奇异上三角矩阵．　　证

6、明　设，则，，，是线性无关的．用Schmidt方法将，，，正交化，得，，．其中，将上式改写为，15，．记，，，．则上述各式可以写成，，．于是．显然，是正交矩阵，是实非奇异上三角矩阵．接下来证明这种分解的唯一性．设有两个分解式：，则．所以，既是正交举证有是实非奇异上三角矩阵，又易知：既是正交举证有是实非奇异上三角矩阵只能是单位矩阵，即有．于是，根据逆矩阵的唯一性知，．　　注　由上述证明过程可得15，其中，．　　例1　试求矩阵的分解．　　解　令，，．经过Schmidt正交化，得，，，令，由注得：则15．　

7、　利用相同的证明思路，定理1可以推广位为列满秩矩阵的情形．定理1．2　设，则可以唯一的分解为．其中是实矩阵，满足，是实非奇异上三角阵，容易看出．3利用Householder变换求矩阵的QR分解　　定义2．1　设且，称为Householder矩阵，由Householder所确定的变换称为Householder变换．　　Householder矩阵有如下性质：（1）（对称矩阵）（2）（正交矩阵）（3）（对合矩阵）（4）（自逆矩阵）（5）是阶Householder矩阵（6）　　定理2．2　设为非零列向量，为单

8、位列向量，则存在Householder矩阵，使得　　证明　当时，取单位列向量满足，则有当时，取则有15．这里利用了等式　　定理2．3　利用Householder变换证明任意都可以进行QR分解．　　证明　将进行列分块，即，由定理知，存在阶Householder矩阵，使得，则式中．再将按列分块，即．同理，有阶Householder矩阵，使得，其中．则有阶Householder矩阵，使得式中：．同理，继续上述步骤，则在第步有15由于皆为Householder矩